Версия для печати
Убрать все задачи

---

По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (k-й и (k+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k–1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)

   Решение

---

Внутри треугольника ABC взята такая точка M, что  ∠BMC = 90° + ½ ∠BAC  и прямая AM содержит центр O описанной окружности треугольника BMC. Докажите, что точка M – центр вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 237 238 239 240 241 242 243 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107829

Темы:   [ Шестиугольники ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В выпуклом шестиугольнике AC₁BA₁CB₁   AB₁ = AC₁,  BC₁ = BA₁,  CA₁ = CB₁  и  ∠A + ∠B + ∠C = ∠A₁ + ∠B₁ + ∠C₁.
Докажите, что площадь треугольника ABC равна половине площади шестиугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108009

Темы:   [ Треугольник (построения) ] [ Подерный (педальный) треугольник ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ ГМТ и вписанный угол ] [ Метод ГМТ ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Теорема синусов ] [ Окружность Аполлония ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Докажите, что внутри остроугольного треугольника существует такая точка, что основания перпендикуляров, опущенных из неё на стороны, являются вершинами равностороннего треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108027

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Из точки M внутри треугольника опущены перпендикуляры на высоты. Оказалось, что отрезки высот от вершин до оснований этих перпендикуляров равны между собой. Докажите, что в этом случае они равны диаметру вписанной в треугольник окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108032

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Площадь четырехугольника ] [ Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Пусть M – внутренняя точка прямоугольника ABCD, а S – его площадь. Докажите, что S ≤ AM·CM + BM·DM.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108034

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята такая точка M, что  ∠BMC = 90° + ½ ∠BAC  и прямая AM содержит центр O описанной окружности треугольника BMC. Докажите, что точка M – центр вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 237 238 239 240 241 242 243 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями