Страница: << 240 241 242 243 244 245 246 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108113

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прямая отсекает от правильного 10-угольника ABCDEFGHIJ со стороной 1 треугольник PAQ, в котором  PA + AQ = 1.
Найдите сумму углов, под которыми виден отрезок PQ из вершин B, C, D, E, F, G, H, I, J.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108114

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В плоскости выпуклого четырёхугольника ABCD расположена точка P. Проведены биссектрисы PK,PL, PM и PN треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно.
  а) Найдите хотя бы одну такую точку P, для которой четырёхугольник KLMN – параллелограмм.
  б) Найдите все такие точки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108118

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Средняя линия треугольника ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E и F являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE, AF и EF делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108119

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ – высоты остроугольного треугольника ABC, O_A, O_B, O_C – центры вписанных окружностей треугольников AB₁C₁, BC₁A₁, CA₁B₁ соответственно; T_A, T_B, T_C – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника T_AO_CT_BO_AT_CO_B равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108121

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что
∠EMK = 90°.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 240 241 242 243 244 245 246 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями