Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
В ящиках лежат камни. За один ход выбирается число k, затем камни в ящиках делятся на группы по k штук и остаток менее, чем из k штук. Оставляют по одному камню из каждой группы и весь остаток. Можно ли за пять ходов добиться, чтобы в ящиках осталось ровно по одному камню, если в каждом из них
а) не более 460 камней;
б) не более 461 камня?
Два фокусника показывают зрителю такой фокус. У зрителя есть 24 карточки, пронумерованные числами от 1 до 24. Он выбирает из них 13 карточек и передаёт первому фокуснику. Тот возвращает зрителю две из них. Зритель добавляет к этим двум одну из оставшихся у него 11 карточек и, перемешав, передаёт эти три карточки второму фокуснику. Каким образом фокусники могут договориться так, чтобы второй всегда с гарантией мог определить, какую из трёх карточек добавил зритель?
Ученик не заметил знака умножения между двумя семизначными числами и написал одно четырнадцатизначное число, которое оказалось в три раза больше их произведения. Найдите эти числа.
Треугольник ABC вписан в
окружность с центром в O . X "– произвольная точка внутри
треугольника ABC , такая, что XAB=
XBC=ϕ , а P
– такая точка, что PX
OX ,
XOP=ϕ , причем углы
XOP и
XAB одинаково
ориентированы. Докажите, что
все такие точки P лежат на одной прямой.
Гриша записал в клетки шахматной доски числа 1, 2, 3, ..., 63, 64 в некотором порядке. Он сообщил Лёше только сумму чисел в каждом прямоугольнике из двух клеток и добавил, что 1 и 64 лежат на одной диагонали. Докажите, что по этой информации Лёша может точно определить, в какой клетке какое число записано.
Доказать, что произведение n первых простых чисел не является полным квадратом.
Что больше: 792 или 891?
Известно, что
tg + tg
= p,
ctg
+ ctg
= q. Найти
tg ( +
).
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x1 рационально.
а) Каких чисел больше среди целых чисел первой тысячи (включая и 1000): в записи которых есть единица, или остальных?
б) Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или остальных?
Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём
меняется в зависимости от времени t по закону
а в момент t0 окончания слива выполнены равенства h(t0)=h'(t0)=0 . За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
Существуют ли такие натуральные числа x и y, что x² + x + 1 является натуральной степенью y, а y² + y + 1 – натуральной степенью x?
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 109489 (#1) |
|
|
На сторонах единичного квадрата отметили точки K, L, M и N так, что прямая KM параллельна двум сторонам квадрата, а прямая LN – двум другим сторонам квадрата. Отрезок KL отсекает от квадрата треугольник периметра 1. Треугольник какой площади отсекает от квадрата отрезок MN?
|
|
Решение |
Задача 109490 (#2) |
|
|
Можно ли покрасить 15 отрезков, изображённых на рисунке, в три цвета так, чтобы никакие два отрезка одного цвета не имели общего конца?
|
|
|
Решение |
Задача 109491 (#3) |
|
|
Существуют ли такие натуральные числа x и y, что x² + x + 1 является натуральной степенью y, а y² + y + 1 – натуральной степенью x?
|
|
Решение |
Задача 109504 (#4) |
|
|
Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет ещё одну карту, и так сколько угодно раз, пока сам не скажет "стоп". Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?
|
|
|
Решение |
Задача 109492 (#5) |
|
Треугольник ABC вписан в
окружность с центром в O . X "– произвольная точка внутри
треугольника ABC , такая, что XAB=
XBC=ϕ , а P
– такая точка, что PX
OX ,
XOP=ϕ , причем углы
XOP и
XAB одинаково
ориентированы. Докажите, что
все такие точки P лежат на одной прямой.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
