Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]

Задача 109780 (#03.5.10.1)

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Теория множеств (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.

Прислать комментарий Решение

Задача 108126 (#03.5.10.2)

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть описанные окружности S₁ и S₂ треугольников ABO и CDO второй раз пересекаются в точке K. Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB и CD, вторично пересекают S₁ и S₂ в точках L и M соответственно. На отрезках OL и OM выбраны соответственно точки P и Q, причём OP : PL = MQ : QO. Докажите, что точки O, K, P, Q лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109782 (#03.5.10.3)

Темы:	[	Деревья	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Перестройки	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

Дано дерево с n вершинами, n ≥ 2. В его вершинах расставлены числа x₁, x₂, x_n, а на каждом ребре записано произведение чисел, стоящих в концах этого ребра. Обозначим через S сумму чисел на всех рёбрах. Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

Задача 109783 (#03.5.10.4)

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Покрытия	]
	[	Свойства параллельного переноса	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Авторы: Дольников В.Л., Карасев Р.

На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник T . Известно, что любое подмножество X' множества X , состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .

Прислать комментарий Решение

Задача 109791 (#03.5.10.5)

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Раскраски	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Подлипский О.К.

В стране n городов. Между каждыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придётся поменять вид транспорта не более одного раза.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]