Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность Ω с центром O, причём O не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность Ω₁ треугольника AOC проходит через середину диагонали BD. Докажите, что описанная окружность Ω₂ треугольника BOD проходит через середину диагонали AC.

   Решение

---

В ряд стоят $9$ вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две из которых не находятся на одной высоте. Жук ползёт снизу вверх; когда он встречает палочку, он переползает по ней на соседний столбик и продолжает ползти вверх. Известно, что если жук начинает внизу первого столбика, то он закончит свой путь на девятом столбике. Всегда ли можно убрать одну из палочек так, чтобы жук в конце пути оказался наверху пятого столбика?

Например, если палочки расположены как на рисунке, то жук будет ползти по сплошной линии. Если убрать третью палочку на пути жука, то он поползёт по пунктирной линии.

   Решение

---

Однажды барон Мюнхгаузен, вернувшись с прогулки, рассказал, что половину пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а половину времени, затраченного на прогулку, – со скоростью 6 км/ч. Не ошибся ли барон?

   Решение

---

Дано уравнение  xⁿ – a₁x^n–1 – a₂x^n–2 – ... – a_n–1x – a_n = 0,  где  a₁ ≥ 0,  a₂ ≥ 0,  a_n ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

   Решение

---

а) Докажите, что расстояния от любой точки параболы до фокуса и до директрисы равны.
б) Докажите, что множество точек, для которых расстояния до некоторой фиксированной точки и до некоторой фиксированной прямой равны, является параболой.

   Решение

---

Пусть f(x) – многочлен степени n с корнями α₁, ..., α_n. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек α₁, ..., α_n на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.

   Решение

---

При каких p и q двучлен  x⁴ + 1  делится на  x² + px + q?

   Решение

---

На плоскости дано  n > 4  точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что существует не менее    различных выпуклых четырёхугольников с вершинами в этих точках.

   Решение

---

В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 363]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 32013

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 2 Классы: 6,7,8

Можно ли в прямоугольной таблице 5×10 так расставить числа, чтобы сумма чисел каждой строки равнялась бы 30, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 10?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32038

Темы:   [ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 2 Классы: 6,7,8

Можно ли провести из одной точки на плоскости пять лучей так, чтобы среди образованных ими углов было ровно четыре острых?
Рассматриваются углы не только между соседними, но и между любыми двумя лучами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32041

Тема:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 2 Классы: 5,6,7,8

В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32043

Темы:   [ Арифметика. Устный счет и т.п. ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 2 Классы: 5,6,7

Придя в тир, Петя купил 5 пуль. За каждый успешный выстрел ему дают еще 5 пуль. Петя утверждает, что он сделал 50 выстрелов и 8 раз попал в цель, а его друг Вася говорит, что этого не может быть. Кто из мальчиков прав?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32050

Тема:   [ Турниры и турнирные таблицы ]

Сложность: 2 Классы: 6,7,8

В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров.
Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 363]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями