- Вводные задачи (5 задач)
- параграф 1. Углы, опирающиеся на равные дуги (14 задач)
- параграф 2. Величина угла между двумя хордами (7 задач)
- параграф 3. Угол между касательной и хордой (10 задач)
- параграф 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды (9 задач)
- параграф 5. Четыре точки, лежащие на одной окружности (12 задач)
- параграф 6. Вписанный угол и подобные треугольники (15 задач)
- параграф 7. Биссектриса делит дугу пополам (5 задач)
- параграф 8. Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями (9 задач)
- параграф 9. Три описанные окружности пересекаются в одной точке (6 задач)
- параграф 10. Точка Микеля (5 задач)
- параграф 11. Разные задачи (7 задач)
Фильтр
Выбрано 17 задач Убрать все задачи
В параллелограмме ABCD диагональ AC больше
диагонали BD; M — такая точка диагонали AC, что
четырехугольник BCDM вписанный. Докажите, что прямая BD
является общей касательной к описанным окружностям
треугольников ABM и ADM.
Докажите неравенство для положительных значений переменных: a²(1 + b4) + b²(1 + a4) ≤ (1 + a4)(1 + b4).
Через каждую вершину треугольника проведены
две прямые, делящие противоположную сторону треугольника
на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие
противоположные вершины шестиугольника, образованного
этими прямыми, пересекаются в одной точке.
Докажите неравенство для положительных значений переменных: a³b + b³c + c³a ≥ abc(a + b + c).
На продолжении хорды KL окружности с центром O
взята точка A, и из нее проведены касательные AP и AQ; M — середина отрезка PQ. Докажите, что
MKO =
MLO.
Докажите неравенство 3(a1b1 + a2b2 + a3b3) ≥ (a1 + a2 + a3)(b1 + b2 + b3) при a1 ≥ a2 ≥ a3, b1 ≥ b2 ≥ b3.
Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.
Восстановите треугольник ABC по вершине B, центру тяжести и точке пересечения L симедианы, проведённой из вершины B, с описанной окружностью.
Пусть $I$ – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Докажите, что существует единственная пара точек $M$, $N$, лежащих соответственно на сторонах $AC$, $BC$, такая, что $\angle AIM = \angle BIN$ и $MN \parallel AB$.
(Продолжение задачи 32796)
Стоя в углу, Клайв разобрал свои наручные часы, чтобы посмотреть, как они устроены. Собирая их обратно, он произвольно надел часовую и минутную стрелки. Сможет ли он так повернуть циферблат, чтобы хоть раз в сутки часы показывали правильное время (часы при этом еще не заведены)?
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_1, BH_2, CH_3$, которые пересекаются в ортоцентре $H$. Точки $P$ и $Q$ симметричны $H_2$ и $H_3$ относительно $H$. Описанная окружность треугольника $PH_1Q$ пересекает во второй раз высоты $BH_2$ и $CH_3$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что $RS$ – средняя линия треугольника $ABC$.
На Солнечном острове живет 20 белых и 25 чёрных хамелеонов (хамелеоны – это животные, умеющие менять свой цвет). При встрече оба хамелеона меняют свой цвет на противоположный. Могут ли все хамелеоны окраситься в один цвет?
На каждой стороне четырехугольника ABCD взято по две
точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если
все пять заштрихованных четырехугольников описанные,
то четырехугольник ABCD тоже описанный.
Докажите, что граф, имеющий пять вершин, каждая из которых соединена ребром со всеми остальными, не является плоским.
Какое самое большое число ладей можно поставить на шахматную доску 8 на 8 так, чтобы они не били друг друга?
Компания из нескольких друзей вела переписку так, что каждое письмо получали все, кроме отправителя. Каждый написал одно и то же количество писем, в результате чего всеми вместе было получено 440 писем. Сколько человек могло быть в этой компании?
Шестиугольник ABCDEF вписанный, причем
AB || DE
и
BC || EF. Докажите, что
CD || AF.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 104]
Задача 56551 (#02.010B) |
|
|
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Третья окружность с центром P
пересекает первую окружность в точках A и B, а вторую — в точках C и
D. Докажите, что
AQD =
BQC.
|
|
Решение |
Задача 56552 (#02.011) |
|
|
Шестиугольник ABCDEF вписанный, причем
AB || DE
и
BC || EF. Докажите, что
CD || AF.
|
|
Решение |
Задача 56553 (#02.012) |
|
|
Многоугольник
A1A2...A2n вписанный. Про все
пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они
параллельны. Докажите, что при n нечетном оставшаяся пара сторон тоже
параллельна, а при n четном оставшаяся пара сторон равна по длине.
|
|
|
Решение |
Задача 56554 (#02.013) |
|
|
Дан треугольник ABC. Докажите, что существует
два семейства правильных треугольников, стороны которых
(или их продолжения) проходят через точки A, B и C.
Докажите также, что центры треугольников этих семейств
лежат на двух концентрических окружностях.
|
|
|
Решение |
Задача 56555 (#02.014) |
|
|
На окружности даны точки A, B, C, D в указанном
порядке. M — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения
хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите,
что KECD — вписанный четырехугольник.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 104]
