- Вводные задачи (4 задачи)
- параграф 1. Вписанная и описанная окружности (17 задач)
- параграф 2. Прямоугольные треугольники (10 задач)
- параграф 3. Правильный треугольник (7 задач)
- параграф 4. Треугольники с углами 60 и 120 градусов (7 задач)
- параграф 5. Целочисленные треугольники (6 задач)
- параграф 6. Разные задачи (21 задача)
- параграф 7. Теорема Менелая (16 задач)
- параграф 8. Теорема Чевы (20 задач)
- параграф 9. Прямая Симсона (15 задач)
- параграф 10. Подерный треугольник (8 задач)
- параграф 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек (10 задач)
- параграф 12. Точки Брокара (11 задач)
- параграф 13. Точка Лемуана (17 задач)
- Задачи для самостоятельного решения (7 задач)
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Докажите, что если у тетраэдра два отрезка, идущие из концов некоторого ребра в центры вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются, то отрезки, выпущенные из концов скрещивающегося с ним ребра в центры вписанных окружностей двух других граней, также пересекаются.
Имеются одна красная и k (k > 1) синих ячеек, а также колода из 2n карт, занумерованных числами от 1 до 2n. Первоначально вся колода лежит в произвольном порядке в красной ячейке. Из любой ячейки можно взять верхнюю карту и переложить её либо в пустую ячейку, либо поверх карты с номером, большим на единицу. При каком наибольшем n можно такими операциями переложить всю колоду в одну из синих ячеек?
Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.
Положительные числа x, y, z таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.
Докажите, что +
+
> x + y + z.
Пусть a, b и c – попарно взаимно простые натуральные числа. Найдите все возможные значения , если известно, что это число целое.
Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$.
Дана последовательность {xk} такая, что x1=1 , xn+1=n sin xn+1 . Докажите, что последовательность непериодична.
Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника A1A2... A2008, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.
а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).
б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.
На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
Точки A, B и C лежат на одной прямой, точка P — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей
треугольников
ABP, BCP, ACP и точка P лежат на одной окружности.
Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX
пересекает описанную окружность в точке A1. В сегмент,
отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги
BC в точке A1, а стороны BC — в точке A2. Точки
B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые
AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.
Задачи Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 176]
Задача 56931 (#05.082.2) |
|
|
Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX
пересекает описанную окружность в точке A1. В сегмент,
отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги
BC в точке A1, а стороны BC — в точке A2. Точки
B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые
AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.
|
|
Решение |
Задача 56932 (#05.083) |
|
|
а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что
б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что
|
|
Решение |
Задача 56933 (#05.084) |
|
|
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1
и CC1. Биссектрисы AA1 и CC1 пересекают отрезки C1B1
и B1A1 в точках M и N. Докажите, что
MBB1 =
NBB1.
|
|
|
Решение |
Задача 56934 (#05.085)[Прямая Симсона] |
|
|
а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).
б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 56935 (#05.086) |
|
|
Точки A, B и C лежат на одной прямой, точка P — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей
треугольников
ABP, BCP, ACP и точка P лежат на одной окружности.
|
|
|
Решение |
Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 176]
