Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]

Задача 56939

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 5
Классы: 9

Пусть A₁ и B₁ — проекции точки P описанной окружности треугольника ABC на прямые BC и AC. Докажите, что длина отрезка A₁B₁ равна длине проекции отрезка AB на прямую A₁B₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 56940

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 5
Классы: 9

На окружности фиксированы точки P и C; точки A и B перемещаются по окружности так, что угол ACB остается постоянным. Докажите, что прямые Симсона точки P относительно треугольников ABC касаются фиксированной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 56941

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Точка P движется по описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что при этом прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой P.

Прислать комментарий Решение

Задача 56942

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 6
Классы: 9

Докажите, что прямые Симсона двух диаметрально противоположных точек описанной окружности треугольника ABC перпендикулярны, а их точка пересечения лежит на окружности девяти точек (см. задачу 5.106).

Прислать комментарий Решение

Задача 56943

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 6
Классы: 9

Точки A, B, C, P и Q лежат на окружности с центром O, причем углы между вектором $\overrightarrow{OP}$ и векторами $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{OQ}$ равны $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и ( $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ )/2. Докажите. что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC параллельна OQ.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]