Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 5. Треугольники >> Задачи для самостоятельного решения
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Доказать, что число всех цифр в последовательности 1, 2, 3,..., 10k равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 10k + 1.

Вниз   Решение

Каждая грань куба заклеивается двумя равными прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой, один из которых белый, другой — чёрный. Можно ли эти треугольники расположить так, чтобы при каждой вершине куба сумма белых углов была равна сумме чёрных углов?

ВверхВниз   Решение

Существует ли такое натуральное x, что  x² + x + 1  делится на 1985?

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.

ВверхВниз   Решение

Автор: Маркелов С.В.

Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?

ВверхВниз   Решение

В каком из выражений:  (1 – x² + x³)1000,   (1 + x² – x³)1000  после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при x20?

ВверхВниз   Решение

Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом.
Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

ВверхВниз   Решение

На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырёхугольник ромбом.

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Существует ли плоский четырехугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?

ВверхВниз   Решение

Дан треугольник ABC. Окружность радиуса R касается прямых AB и BC в точках A и C и пересекает медиану BD в точке L, причём  BL = 5/9 BD.
Найдите площадь треугольника.

ВверхВниз   Решение

Найти все действительные решения системы
   x³ + y³ = 1,
   x4 + y4 = 1.

ВверхВниз   Решение

Трёхчлен  ax² + bx + c  при всех целых x является точным квадратом. Доказать, что тогда  ax² + bx + c = (dx + e)².

ВверхВниз   Решение

Дан $ \Delta$ABC и точка D внутри него, причем AC - DA > 1 и BC - BD > 1. Берётся произвольная точка E внутри отрезка AB. Доказать, что EC - ED > 1.

ВверхВниз   Решение

Сумму цифр числа a обозначим через S(a). Доказать, что если  S(a) = S(2a),  то число a делится на 9.

ВверхВниз   Решение

Дан треугольник A0B0C0. На его сторонах A0B0, B0C0, C0A0 взяты точки C1, A1, B1 соответственно. На сторонах A1B1, B1C1, C1A1 треугольника A1B1C1 взяты соответственно точки C2, A2, B2, и вообще, на сторонах AnBn, BnCn, CnAn, треугольника AnBnCn взяты точки Cn + 1, An + 1, Bn + 1. Известно, что

$\displaystyle {\frac{A_0B_1}{B_1C_0}}$ = $\displaystyle {\frac{B_0C_1}{C_1A_0}}$ = $\displaystyle {\frac{C_0A_1}{A_1B_0}}$ = k,$\displaystyle {\frac{A_1B_2}{B_2C_1}}$ = $\displaystyle {\frac{B_1C_2}{C_2A_1}}$ = $\displaystyle {\frac{C_1A_2}{A_2B_1}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{k^2}}$
и вообще,

Доказать, что треугольник ABC, образованный пересечением прямых A0A1, B0B1, C0C1, содержится в треугольнике AnBnCn при любом n.

ВверхВниз   Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон CA и AB в точках B1 и C1, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках B2 и C2. Докажите, что середина стороны BC равноудалена от прямых B1C1 и B2C2.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

  с решениями  

Задача 56998

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC касается гипотенузы AB в точке P, CH – высота треугольника ABC.
Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ACH лежит на перпендикуляре, опущенном из точки P на AC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 57000

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Биссектриса угла ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Пусть O, O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников ABC, ABD и ACD.
Докажите, что OO1 = OO2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 57001

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Признаки подобия ]
[ Средние величины ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Треугольник, составленный:  а) из медиан;  б) из высот треугольника ABC, подобен треугольнику ABC.
Каким соотношением связаны длины сторон треугольника ABC?

Прислать комментарий     Решение

Задача 57003

Темы:   [ Частные случаи треугольников (прочее) ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что если  ∠A = 45°,  то B1C1 – диаметр окружности девяти точек треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56999

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Средняя линия трапеции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон CA и AB в точках B1 и C1, а вневписанная окружность касается продолжения этих сторон в точках B2 и C2. Докажите, что середина стороны BC равноудалена от прямых B1C1 и B2C2.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .