Решить в целых числах уравнение  x² = 14 + y².

   Решение

а) Сколькими способами можно разбить 15 человек на три команды по пять человек в каждой?
б) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две команды по пять человек в каждой?

   Решение

Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?

   Решение

Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C₁. Точки A₁, B₁ определены аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке;
  б) треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

   Решение

Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что
  а)  p^q + q^p ≡ p + q (mod pq);

  б)   – чётное число, если  p, q ≠ 2.

   Решение

Пусть P(xⁿ) делится на  x – 1.  Докажите, что P(xⁿ) делится на  xⁿ – 1.

   Решение

Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, делящееся на (в записи 100 троек).

   Решение

Решить в целых числах уравнение  x² + y² = 4z – 1.

   Решение

а) Дано шестизначное число  abcdef,  причём  abc + def  делится на 37. Докажите, что и само число делится на 37.
б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 37.

   Решение

Даны точки A, B. Найдите геометрическое место таких точек C, что C, середины отрезков AC, BC и точка пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной окружности.

   Решение

С помощью двусторонней линейки постройте центр данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки.

   Решение

Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.

   Решение

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x₁, x₂, ..., x_n, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

   Решение

Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для любого n, начиная с шести.

   Решение

Даны две параллельные прямые и отрезок, лежащий на одной из них. Удвойте этот отрезок с помощью одной линейки.

   Решение

Сколькими способами можно расселить 15 гостей в четырёх комнатах, если требуется, чтобы ни одна из комнат не осталась пустой?

   Решение

Докажите, что число  30²³⁹ + 239³⁰  составное.

   Решение

Докажите, что в правильном тридцатиугольнике A₁...A₃₀ следующие тройки диагоналей:
  а) A₁A₇, A₂A₉, A₄A₂₃;
  б) A₁A₇, A₂A₁₅, A₄A₂₉;
  в) A₁A₁₃, A₂A₁₅, A₁₀A₂₉
пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 110]      

Существует ли правильный многоугольник, длина одной диагонали которого равна сумме длин двух других диагоналей?

Прислать комментарий

Решение

Правильный (4k+2)-угольник вписан в окружность радиуса R с центром O.
Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом   A_kOA_k+1 на прямых   A₁A_2k, A₂A_2k–1, ..., A_kA_k+1,  равна R.

Прислать комментарий

Решение

В правильном восемнадцатиугольнике A₀...A₁₇ проведены диагонали A₀A_p+3, A_p+1A_18–r и A₁A_p+q+3.
Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:
  а)  {p, q, r} = {1, 3, 4},
  б)  {p, q, r} = {2, 2, 3}.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что в правильном тридцатиугольнике A₁...A₃₀ следующие тройки диагоналей:
  а) A₁A₇, A₂A₉, A₄A₂₃;
  б) A₁A₇, A₂A₁₅, A₄A₂₉;
  в) A₁A₁₃, A₂A₁₅, A₁₀A₂₉
пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

В правильном n-угольнике  (n ≥ 3)  отмечены середины всех сторон и диагоналей.
Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной окружности?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 110]