Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 8. Построения
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 20 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Из полоски бумаги шириной 1 см склеили цилиндрическое кольцо с длиной окружности 4 см. Можно ли из этого кольца изготовить квадрат, имеющий площадь: а) 1 кв.см; б) 2 кв.см. Бумагу разрешается склеивать, складывать, но НЕЛЬЗЯ резать.

Вниз   Решение

Автор: Рожкова М.

Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q.
Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.

ВверхВниз   Решение

Последовательность чисел x0, x1, x2,...задается условиями

x0 = 1,        xn + 1 = axn    (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого a?

ВверхВниз   Решение

Автор: Френкин Б.Р.

На плоскости начерчен треугольник и в нём отмечены две точки. Известно, что какой-то из углов треугольника равен 58°, какой-то из остальных – 59°, какая-то из отмеченных точек является центром вписанной окружности, а другая – центром описанной. Используя только линейку без делений, определите, где какой угол и где какая точка.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если M' и N' — образы многоугольников M и N при аффинном преобразовании, то отношение площадей M и N равно отношению площадей M' и N'.

ВверхВниз   Решение

Решите уравнение  3x + 5y = 7  в целых числах.

ВверхВниз   Решение

Дано 25 чисел. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

ВверхВниз   Решение

Автор: Френкин Б.Р.

В пространстве отмечены пять точек. Известно, что это центры сфер, четыре из которых попарно касаются извне и касаются изнутри пятой сферы. При этом невозможно определить, какая точка является центром объемлющей сферы. Найдите отношение радиусов наибольшей и наименьшей сферы.

ВверхВниз   Решение

Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
  а) (2n+1)-угольника;  б) 2n-угольника?

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.

ВверхВниз   Решение

На доске написано несколько положительных чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано на доске?

ВверхВниз   Решение

Найдите углы выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором $ \angle$BAC = 30o, $ \angle$ACD = 40o, $ \angle$ADB = 50o, $ \angle$CBD = 60o и $ \angle$ABC + $ \angle$ADC = 180o.

ВверхВниз   Решение

На прямой даны точки А, В и, кроме того, 57 точек, лежащих вне отрезка АВ. Каждая из этих 57 точек – либо красного, либо синего цвета. Рассмотрим следующие суммы:
  S1 – сумма расстояний от точки А до всех красных точек плюс сумма расстояний от точки В до всех синих точек;
  S2 – сумма расстояний от точки А до всех синих точек плюс сумма расстояний от точки В до всех красных точек.
Доказать, что  S1 ≠ S2.

ВверхВниз   Решение


Высота прямоугольного треугольника ABC, опущенная на гипотенузу, равна 9.6. Из вершины C прямого угла восставлен к плоскости треугольника ABC перпендикуляр CM, причем CM = 28. Найдите расстояние от точки M до гипотенузы AB.

ВверхВниз   Решение

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что:
а) площадь треугольника ACE составляет не менее половины площади шестиугольника.
б) площади треугольников ACE и BDF равны.

ВверхВниз   Решение

Решите в целых числах уравнение  1990x – 173y = 11.

ВверхВниз   Решение

Известно, что выражение  14x + 13y  делится на 11 при некоторых целых x и y. Докажите, что  19x + 9y  также делится на 11 при таких x и y.

ВверхВниз   Решение

Придайте смысл равенству   = (–1)1/i ≈ 231/7.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что для любого натурального n число  62(n+1) − 2n+3·3n + 2 + 36  делится на 900.

ВверхВниз   Решение

Даны три точки A, B и C. Постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 101]      

  с решениями  

Задача 57255  (#08.057)

Тема:   [ Окружности (построения) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

Даны три точки A, B и C. Постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57256  (#08.058)

Тема:   [ Окружности (построения) ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9

Постройте окружность, касательные к которой, проведенные из трех данных точек A, B и C, имели бы длины a, b и c соответственно.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57257  (#08.059)

Тема:   [ Окружность Аполлония ]
Сложность: 4
Классы: 9

Постройте треугольник по a, ha и b/c.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57258  (#08.060)

Тема:   [ Окружность Аполлония ]
Сложность: 4
Классы: 9

Постройте треугольник ABC, если известны длина биссектрисы CD и длины отрезков AD и BD, на которые она делит сторону AB.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57259  (#08.061)

Темы:   [ Окружность Аполлония ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Метод ГМТ ]
[ Построения (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

На прямой даны четыре точки A, B, C, D в указанном порядке. Постройте точку M, из которой отрезки AB, BC, CD видны под равными углами.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 101]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .