Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 11. Задачи на максимум и минимум
- параграф 1. Треугольник (13 задач)
- параграф 2. Экстремальные точки треугольника (9 задач)
- параграф 3. Угол (6 задач)
- параграф 4. Четырехугольники (6 задач)
- параграф 5. Многоугольники (3 задачи)
- параграф 6. Разные задачи (8 задач)
- параграф 7. Экстремальные свойства правильных многоугольников (3 задачи)
Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами.
Докажите, что чем больше угол при вершине, тем меньше высота, опущенная на основание.
Угол треугольника равен сумме двух других его углов. Докажите, что треугольник прямоугольный.
Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного
треугольника. Докажите, что r + R h.
Докажите, что прямая, проходящая через точки a1 и a2, задаётся уравнением
В треугольнике ABC ∠A = 45°, BH – высота, точка K лежит на стороне AC, причём BC = CK.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABK совпадает с центром вневписанной окружности треугольника BCH.
Два параллелограмма расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что диагональ одного параллелограмма проходит через точку пересечения диагоналей другого.
Доказать: сумма
а) любого количества чётных слагаемых чётна;
б) чётного количества нечётных слагаемых чётна;
в) нечётного количества нечётных слагаемых нечётна.
Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?
Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда
Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами.
Докажите, что чем больше основание, тем меньше проведённая к нему высота.
Докажите, что отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника с точкой, лежащей на основании, не больше боковой стороны треугольника.
Решить уравнение x8 + 4x4 + x² + 1 = 0.
В гости пришло 10 гостей и каждый оставил в коридоре пару калош. Все пары калош имеют разные размеры. Гости начали расходиться по одному, одевая любую пару калош, в которые они могли влезть (т.е. каждый гость мог надеть пару калош, не меньшую, чем его собственные). В какой-то момент обнаружилось, что ни один из оставшихся гостей не может найти себе пару калош, чтобы уйти. Какое максимальное число гостей могло остаться?
В треугольнике ABC биссектриса AK перпендикулярна медиане CL.
Докажите, что в треугольнике BKL также одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.
Из точки M, лежащей на стороне AB остроугольного треугольника
ABC, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны BC и AC.
При каком положении точки M длина отрезка PQ минимальна?
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
Задача 57531 (#11.011) |
|
|
Докажите, что если α, β, γ и α1, β1, γ1 – углы двух треугольников, то cos α1/sin α + cos β1/sin β + cos γ1/sin γ ≤ ctg α + ctg β + ctg γ.
|
|
Решение |
Задача 57532 (#11.012) |
|
Пусть a, b и c – длины сторон треугольника площади S; α1, β1 и γ1 – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
a² ctg α1 + b² ctg β1 + c² ctg γ1 ≥ 4S, причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.
|
|
|
Решение |
Задача 57533 (#11.013) |
|
|
Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём a ≥ b ≥ c; x, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что
|
|
|
Решение |
Задача 57534 (#11.014) |
|
|
На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка X, M и N – её проекции на катеты AC и BC.
а) При каком положении точки X длина отрезка MN будет наименьшей?
б) При каком положении точки X площадь четырёхугольника CMXN
будет наибольшей?
|
|
|
Решение |
Задача 57535 (#11.015) |
|
|
Из точки M, лежащей на стороне AB остроугольного треугольника
ABC, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны BC и AC.
При каком положении точки M длина отрезка PQ минимальна?
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]
