Радиусы двух окружностей равны R и r, а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности пересекаются тогда и только тогда, когда  | R - r| < d < R + r.

   Решение

Докажите, что  S_ABCD (AB ^. BC + AD ^. DC)/2.

   Решение

Две окружности S₁ и S₂ с центрами O₁ и O₂ касаются в точке A. Через точку A проведена прямая, пересекающая S₁ в точке A₁ и S₂ в точке A₂. Докажите, что  O₁A₁ || O₂A₂.

   Решение

На отрезке длиной 1 дано n точек. Докажите, что сумма расстояний от некоторой точки отрезка до этих точек не меньше n/2.

   Решение

Остроугольный треугольник расположен внутри окружности. Докажите, что ее радиус не меньше радиуса описанной окружности треугольника.
Верно ли это утверждение для тупоугольного треугольника?

   Решение

В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть провод из точки A в точку B, расстояние между которыми равно l. Докажите, что для этой цели ему достаточно куска провода длиной 1, 6l.

   Решение

Докажите тождество: 1 ^. 2 ^. 3 + 2 ^. 3 ^. 4 +...+ n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3).

   Решение

В выпуклом четырехугольнике ABCD равны стороны AB и CD и углы A и C. Обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм?

   Решение

На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными – единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра – единица, то выиграл первый игрок, если двойка – то второй.

   Решение

а) Диагонали AC и BE правильного пятиугольника ABCDE пересекаются в точке K. Докажите, что описанная окружность треугольника CKE касается прямой BC.
б) Пусть a — длина стороны правильного пятиугольника, d — длина его диагонали. Докажите, что  d² = a² + ad.

   Решение

Имеется три кучки камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет?

   Решение

Докажите, что правильный треугольник можно разрезать на n правильных треугольников для любого n, начиная с шести.

   Решение

Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник.

   Решение

Докажите, что  S_ABC AB ^. BC/2.

   Решение

Окружности S₁ и S₂ касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причем одна из точек пересечения окружностей S₁ и S₂ лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей S₁ и S₂ равна радиусу окружности S.

   Решение

На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников с вершинами в этих точках не является остроугольным.

   Решение

Бумажный треугольник, один из углов которого равен α, разрезали на несколько треугольников. Могло ли случиться, что все углы всех полученных треугольников меньше α
  а) в случае, если  α = 70°;
  б) в случае, если  α = 80°?

   Решение

В четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны, причем лучи AB и DC пересекаются в точке O. Докажите, что прямая, соединяющая середины диагоналей, перпендикулярна биссектрисе угла AOD.

   Решение

Список упорядоченных в порядке возрастания длин сторон и диагоналей одного выпуклого четырехугольника совпадает с таким же списком для другого четырехугольника. Обязательно ли эти четырехугольники равны?

   Решение

На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.

   Решение

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точке A. Через точку A проведена прямая, пересекающая S₁ в точке B, S₂ в точке C. В точках C и B проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке D. Докажите, что угол BDC не зависит от выбора прямой, проходящей через A.

   Решение

Арена цирка освещается n различными прожекторами. Каждый прожектор освещает выпуклую фигуру. Известно, что если выключить любой прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить любые два прожектора, то арена будет освещена не полностью. При каких n это возможно?

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1  м²?

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырехугольнике ABCD равны стороны AB и CD и углы A и C. Обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм?

Прислать комментарий

Решение

Арена цирка освещается n различными прожекторами. Каждый прожектор освещает выпуклую фигуру. Известно, что если выключить любой прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить любые два прожектора, то арена будет освещена не полностью. При каких n это возможно?

Прислать комментарий

Решение

Список упорядоченных в порядке возрастания длин сторон и диагоналей одного выпуклого четырехугольника совпадает с таким же списком для другого четырехугольника. Обязательно ли эти четырехугольники равны?

Прислать комментарий

Решение

Пусть n3. Существуют ли n точек, не лежащих на одной прямой, попарные расстояния между которыми иррациональны, а площади всех треугольников с вершинами в них рациональны?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]