ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
![]()
Параграфы:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи На стороне AB четырехугольника ABCD взяты точки A1
и B1, а на стороне CD — точки C1 и D1,
причем
AA1 = BB1 = pAB и
CC1 = DD1 = pCD, где p < 0, 5. Докажите,
что
SA1B1C1D1/SABCD = 1 - 2p.
а) Докажите, что отношение расстояний от точки эллипса
до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету e.
Квадрат разделен на четыре части двумя
перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит
внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей
равны, то равны и площади всех четырех частей.
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность.
Диагонали AD, BE и CF являются диаметрами этой окружности.
Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF равна
удвоенной площади треугольника ACE.
Даны окружность и две точки A и B внутри ее.
Впишите в окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты
проходили через данные точки.
Никакие три из четырех точек A, B, C, D не
лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными
окружностями треугольников ABC и ABD равен углу
между описанными окружностями треугольников ACD и BCD.
Докажите, что
Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Известно,
что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O,
и прямые AB1, BC1 и CA1 пересекаются в одной точке O1.
Докажите, что прямые AC1, BA1 и CB1 тоже пересекаются
в одной точке O2 (теорема о дважды перспективных треугольниках).
На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата:
ABCD,
AB1C1D1 и
A2B2CD2; первый квадрат
имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите,
что медиана BM треугольника BB1B2 перпендикулярна отрезку D1D2.
Докажите, что
ha/la Постройте треугольник по биссектрисе, медиане и высоте,
проведенным из одной вершины.
Докажите, что
Пусть
a Детали полотна игрушечной железной дороги имеют
форму четверти окружности радиуса R. Докажите, что
последовательно присоединяя их концами
так, чтобы они плавно переходили друг
в друга, нельзя составить путь, у которого
начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют
тупик, изображенный на рис.
Пусть O — центр описанной окружности
(неправильного) треугольника ABC, M — точка пересечения медиан.
Докажите, что прямая OM перпендикулярна медиане CC1 тогда и только
тогда, когда
a2 + b2 = 2c2.
Хорда PQ окружности
x2 + y2 = a2 + b2 с центром O касается эллипса
|
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 84]
Параллелограмм описан около эллипса. Докажите, что диагонали параллелограмма содержат сопряженные диаметры эллипса.
а) Докажите, что отношение расстояний от точки эллипса
до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету e.
Вокруг эллипса описан прямоугольник. Докажите,
что длина его диагонали не зависит от положения прямоугольника.
Хорда PQ окружности
x2 + y2 = a2 + b2 с центром O касается эллипса
а) Пусть AA' и BB' —
сопряженные диаметры эллипса с центром O. Проведем через точку
B перпендикуляр к прямой OA и отложим на нем отрезки BP и
BQ, равные OA. Докажите, что главные оси эллипса являются
биссектрисами углов между прямыми OP и OQ.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 84]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке