Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 31. Эллипс, парабола, гипербола
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть P, Q — точки пересечения продолжений противоположных сторон AB и CD, AD и BC соответственно, R — произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть K — точка пересечения прямых BC и PR, L — точка пересечения прямых AB и QR, M — точка пересечения прямых AK и DR. Докажите, что точки L, M и C лежат на одной прямой.

Вниз   Решение

а) Докажите, что отношение расстояний от точки эллипса до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету e.
б) Даны точка F и прямая l. Докажите, что множество точек X, для которых отношение расстояния от X до F к расстоянию от X до l равно постоянному числу e < 1, — эллипс.

ВверхВниз   Решение

Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.

ВверхВниз   Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Диагонали AD, BE и CF являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF равна удвоенной площади треугольника ACE.

ВверхВниз   Решение

Никакие три из четырех точек A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников ABC и ABD равен углу между описанными окружностями треугольников ACD и BCD.

ВверхВниз   Решение

Даны окружность и две точки A и B внутри ее. Впишите в окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты проходили через данные точки.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  $ {\frac{1}{ab}}$ + $ {\frac{1}{bc}}$ + $ {\frac{1}{ca}}$ = $ {\frac{1}{2Rr}}$.

ВверхВниз   Решение

Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Известно, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O, и прямые AB1, BC1 и CA1 пересекаются в одной точке O1. Докажите, что прямые AC1, BA1 и CB1 тоже пересекаются в одной точке O2 (теорема о дважды перспективных треугольниках).

ВверхВниз   Решение

На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата: ABCD, AB1C1D1 и  A2B2CD2; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треугольника BB1B2 перпендикулярна отрезку D1D2.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  ha/la $ \geq$ $ \sqrt{2r/R}$.

ВверхВниз   Решение

Постройте треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведенным из одной вершины.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  $ {\frac{2}{h_a}}$ = $ {\frac{1}{r_b}}$ + $ {\frac{1}{r_c}}$.

ВверхВниз   Решение

Пусть  a $ \leq$ b $ \leq$ c. Докажите, что тогда  ha + hb + hc $ \leq$ 3b(a2+ac+c2)/(4pR).

ВверхВниз   Решение

Детали полотна игрушечной железной дороги имеют форму четверти окружности радиуса R. Докажите, что последовательно присоединяя их концами так, чтобы они плавно переходили друг в друга, нельзя составить путь, у которого начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют тупик, изображенный на рис.


ВверхВниз   Решение

Пусть O — центр описанной окружности (неправильного) треугольника ABC, M — точка пересечения медиан. Докажите, что прямая OM перпендикулярна медиане CC1 тогда и только тогда, когда  a2 + b2 = 2c2.

ВверхВниз   Решение

Хорда PQ окружности x2 + y2 = a2 + b2 с центром O касается эллипса $ {\dfrac{x^2}{a^2}}$ + $ {\dfrac{y^2}{b^2}}$ = 1. Докажите, что прямые PO и QO содержат сопряженные диаметры эллипса.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 84]      

  с решениями  

Задача 58483  (#31.016)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

Параллелограмм описан около эллипса. Докажите, что диагонали параллелограмма содержат сопряженные диаметры эллипса.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58484  (#31.017)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

а) Докажите, что отношение расстояний от точки эллипса до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету e.
б) Даны точка F и прямая l. Докажите, что множество точек X, для которых отношение расстояния от X до F к расстоянию от X до l равно постоянному числу e < 1, — эллипс.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58485  (#31.018)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

Вокруг эллипса описан прямоугольник. Докажите, что длина его диагонали не зависит от положения прямоугольника.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58486  (#31.019)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

Хорда PQ окружности x2 + y2 = a2 + b2 с центром O касается эллипса $ {\dfrac{x^2}{a^2}}$ + $ {\dfrac{y^2}{b^2}}$ = 1. Докажите, что прямые PO и QO содержат сопряженные диаметры эллипса.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58487  (#31.020)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]
Сложность: 3
Классы: 10

а) Пусть AA' и BB' — сопряженные диаметры эллипса с центром O. Проведем через точку B перпендикуляр к прямой OA и отложим на нем отрезки BP и BQ, равные OA. Докажите, что главные оси эллипса являются биссектрисами углов между прямыми OP и OQ.
б) На плоскости нарисована пара сопряженных диаметров эллипса. С помощью циркуля и линейки постройте его оси.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 84]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .