Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 6. Многочлены
- параграф 1. Квадратный трехчлен (36 задач)
- параграф 2. Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу. (45 задач)
- параграф 3. Разложение на множители (13 задач)
- параграф 4. Многочлены с кратными корнями (12 задач)
- параграф 5. Теорема Виета (18 задач)
- параграф 6. Интерполяционный многочлен Лагранжа (17 задач)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Построить прямоугольный треугольник по двум медианам, проведённым к катетам.
a, b, c ≥ 0. Докажите, что 2(a³ + b³ + c³) ≥ a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc².
Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.
Докажите, что при любом x выполняется неравенство x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥ –1.
Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде P(x)U(x) + Q(x)V(x):
а) P(x) = x4 + x³ – 3x² – 4x – 1, Q(x) = x³ + x² – x – 1;
б) P(x) = 3x4 – 5x³ + 4x² – 2x + 1, Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.
Найти последнюю цифру числа 1·2 + 2·3 + ... + 999·1000.
Пусть (P(x), Q(x)) = D(x).
Докажите, что существуют такие многочлены U(x) и V(x), что degU (x) < deg Q(x), deg V(x) < deg P(x) и
P(x)U(x) + Q(x)V(x) = D(x).
Сколько цифр у числа 21000?
На сколько нулей оканчивается число 9999 + 1?
Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?
Докажите, что для произвольных a, b, с равенство выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство
.
Определим последовательности {xn} и {yn} при помощи условий:
Докажите, что многочлен a³(b² – c²) + b³(c² – a²) + c³(a² – b²) делится на (b – c)(c – a)(a – b).
Задачи Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 141]
Задача 78054 (#06.061) |
|
|
Дано уравнение xn – a1xn–1 – a2xn–2 – ... – an–1x – an = 0, где a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, an ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.
|
|
Решение |
Задача 60985 (#06.062)[Правило знаков Декарта] |
|
|
Докажите, что количество положительных корней многочлена f(x) = anxn + ... + a1x + a0 не превосходит числа перемен знака в последовательности an, ..., a1, a0.
|
|
|
Решение |
Задача 60986 (#06.063) |
|
|
Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отрицательных корней многочлена f(x) = anxn + ... + a1x + a0?
|
|
|
Решение |
Задача 60987 (#06.064) |
|
|
Докажите, что многочлен a³(b² – c²) + b³(c² – a²) + c³(a² – b²) делится на (b – c)(c – a)(a – b).
|
|
Решение |
Задача 60988 (#06.065) |
|
|
Докажите, что из равенства P(x) = Q(x)T(x) + R(x) следует соотношение (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)).
|
|
|
Решение |
Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 141]
