Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Ёжик может встретить в тумане либо Сивого Мерина, либо Сивую Кобылу, либо своего друга Медвежонка. Однажды Ёжику вышли навстречу все трое, но туман был густой, и Ёжик не видел, кто из них кто, а потому попросил представиться.

Тот, кто, с точки зрения Ёжика, был слева, сказал: «Рядом со мной Медвежонок».

Тот, кто стоял справа, заявил: «Это тебе сказала Сивая Кобыла».

Наконец, тот, кто был в центре, сообщил: «Слева от меня Сивый Мерин».

Определите, кто где стоял, если известно, что Сивый Мерин врёт всегда, Сивая Кобыла — иногда, а Медвежонок Ёжику не врёт никогда?

Вниз   Решение


На гипотенузе BC прямоугольного треугольника ABC выбрана точка K так, что  AB = AK.  Отрезок AK пересекает биссектрису CL в её середине.
Найдите острые углы треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что для любого натурального числа  n > 1  найдутся такие натуральные числа a, b, c, d, что  a + b = c + d = ab – cd = 4n.

ВверхВниз   Решение


На сторонах произвольного треугольника ABC вне его построены равнобедренные треугольники A'BC, AB'C и ABC' с вершинами A', B' и C' и углами $ \alpha$, $ \beta$ и $ \gamma$ при этих вершинах, причем $ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$ = 2$ \pi$. Докажите, что углы треугольника A'B'C' равны $ \alpha$/2, $ \beta$/2, $ \gamma$/2.

ВверхВниз   Решение


При каких n многочлен  1 + x² + x4 + ... + x2n–2  делится на  1 + x + x2 + ... + xn–1?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  2(x² + y²) ≥ (x + y)²  при любых x и y.

ВверхВниз   Решение


Построить треугольник ABC по трем точкам H1, H2 и H3, которые являются симметричными отражениями точки пересечения высот искомого треугольника относительно его сторон.

ВверхВниз   Решение


Каждое из рёбер полного графа с 6 вершинами покрашено в один из двух цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

ВверхВниз   Решение


Пусть натуральное число n таково, что  n + 1  делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что многочлен  P(x) = (x + 1)6x6 – 2x – 1  делится на  x(x + 1)(2x + 1).

ВверхВниз   Решение


Тетрадь, ручка и карандаш стоят 120 рублей. А 5 тетрадей, 2 ручки и 3 карандаша стоят 350 рублей. Что дороже: две тетради или одна ручка?

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC. Требуется разрезать его на наименьшее число частей так, чтобы, перевернув эти части на другую сторону, из них можно было сложить тот же треугольник ABC.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если в выражении  (x² – x + 1)2014  раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.

ВверхВниз   Решение


Сколько представлений допускает дробь    в виде суммы двух положительных дробей со знаменателями n и  n + 1?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



Задача 60995  (#06.072)

Темы:   [ Методы решения задач с параметром ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

При каком положительном значении p уравнения  3x² – 4px + 9 = 0  и  x² – 2px + 5 = 0  имеют общий корень?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60996  (#06.073)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Найдите такие многочлены P(x) и Q(x), что  (x + 1)P(x) + (x4 + 1)Q(x) = 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60997  (#06.074)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

При помощи метода неопределенных коэффициентов найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство
P(x)(x² – 3x + 2) + Q(x)(x² + x + 1) = 21.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60998  (#06.075)

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Найдите такие линейные функции  P(x)  и  Q(x),  чтобы выполнялось равенство   P(x)(2x³ – 7x² + 7x – 2) + Q(x)(2x³ + x² + x – 1) = 2x – 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60999  (#06.076)

Тема:   [ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Сколько представлений допускает дробь    в виде суммы двух положительных дробей со знаменателями n и  n + 1?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .