Версия для печати
Убрать все задачи

---

Является ли число  4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰  простым?

   Решение

---

Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая команда сыграла с каждой один раз). Доказать, что можно выделить такие четыре команды A, B, C и D, что A выиграла у B, C и D; B выиграла у C и D, C выиграла у D.

   Решение

---

В треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона квадрата меньше 2r, но больше r, где r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

   Решение

---

В треугольнике ABC высота и медиана, проведённые из вершины A, образуют (вместе с прямой BC) треугольник, в котором биссектриса угла A является медианой, а высота и медиана, проведённые из вершины B, образуют (вместе с прямой AC) треугольник, в котором биссектриса угла B является биссектрисой. Найдите отношение сторон треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65037  (#11)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Вневписанная окружность прямоугольного треугольника ABC  (∠B = 90°)  касается стороны BC в точке A₁, а прямой AC в точке A₂. Прямая A₁A₂ пересекает (первый раз) вписанную окружность треугольника ABC в точке A'; аналогично определяется точка C'. Докажите, что  AC || A'C'.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65038  (#12)

Темы:   [ Построения (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Пусть AP и BQ – высоты данного остроугольного треугольника ABC. Постройте циркулем и линейкой на стороне AB точку M так, чтобы
∠AQM = ∠BPM.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65039  (#13)

Темы:   [ ГМТ (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Центр масс (прочее) ] [ Центр масс ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

а) Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников, вершины которых лежат на сторонах данного треугольника (по одной вершине внутри каждой стороны).

б) Найдите геометрическое место центров тяжести тетраэдров, вершины которых лежат на гранях данного тетраэдра (по одной вершине внутри каждой грани).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65040  (#14)

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

В треугольнике ABC высота и медиана, проведённые из вершины A, образуют (вместе с прямой BC) треугольник, в котором биссектриса угла A является медианой, а высота и медиана, проведённые из вершины B, образуют (вместе с прямой AC) треугольник, в котором биссектриса угла B является биссектрисой. Найдите отношение сторон треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65041  (#15)

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Перегруппировка площадей ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Дана окружность с центром O и радиусом 1. Из точки A к ней проведены касательные AB и AC. Точка M, лежащая на окружности, такова, что четырёхугольники OBMC и ABMC имеют равные площади. Найдите MA.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями