Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 326 327 328 329 330 331 332 >> [Всего задач: 1854]

Задача 65561

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Пусть A и B – два прямоугольника. Из прямоугольников, равных A, сложили прямоугольник, подобный B.
Докажите, что из прямоугольников, равных B, можно сложить прямоугольник, подобный A.

Прислать комментарий Решение

Задача 65566

Темы:	[	Поворот (прочее)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Окружность Аполлония	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Кожевников П.А.

Углы AOB и COD совмещаются поворотом так, что луч OA совмещается с лучом OC, а луч OB – с OD. В них вписаны окружности, пересекающиеся в точках E и F. Доказать, что углы AOE и DOF равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65737

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты и полуинварианты (прочее)	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Грибалко А.В., Митрофанов И.В.

а) Есть неограниченный набор карточек со словами "abc", "bca", "cab". Из них составляют слово по такому правилу. В качестве начального слова выбирается любая карточка, а далее на каждом шаге к имеющемуся слову можно либо приклеить карточку слева или справа, либо разрезать слово в любом месте (между буквами) и вклеить карточку туда. Можно ли так составить палиндром?

б) Есть неограниченный набор красных карточек со словами "abc", "bca", "cab" и синих карточек со словами "cba", "acb", "bac". Из них по тем же правилам составили палиндром. Верно ли, что было использовано одинаковое количество красных и синих карточек?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65738

Темы:	[	Окружности на сфере	]
	[	Правильные многогранники (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Бердников А.

На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить N кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов? Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки. Решите задачу в случаях: а) N = 3; б) N = 4.

Прислать комментарий Решение

Задача 65835

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

На доске можно либо написать две единицы, либо стереть любые два уже написанных одинаковых числа n и написать вместо них числа n + 1 и n – 1. Какое минимальное количество таких операций требуется, чтобы получить число 2005? (Сначала доска была чистой.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 326 327 328 329 330 331 332 >> [Всего задач: 1854]