Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит чётное число отрезков.

   Решение

---

Имеется железная гиря в 6 кг, сахар и невесомые пакеты в неограниченном количестве, а также нестандартные весы с двумя чашами: весы находятся в равновесии, если грузы на левой и правой чашах относятся как  3 : 4.  За одно взвешивание можно положить на весы любые уже имеющиеся грузы и добавить на одну из чаш пакет с таким количеством сахара, чтобы чаши уравновесились (такие пакеты с сахаром можно использовать при дальнейших взвешиваниях). Удастся ли отмерить 1 кг сахара?

   Решение

Страница: << 102 103 104 105 106 107 108 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66188

Темы:   [ Признаки и свойства касательной ] [ Поворот (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прямая касается окружности в точке A. На прямой выбрали точку B и повернули отрезок AB на некоторый угол вокруг центра окружности, получив отрезок A'B'. Докажите, что прямая, проходящая через точки касания A и A', делит пополам отрезок BB'.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66189

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Доказательство от противного ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Последовательность нулей и единиц строится следующим образом: на k-м месте ставится ноль, если сумма цифр числа k чётна, и единица, если сумма цифр числа k нечётна. Докажите, что эта последовательность непериодична.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66329

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса угла ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CL$. Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает отрезок $CL$ в точке $K$.
Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $AKL$ касаются.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66330

Тема:   [ Комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина – отрицательна. Каково наибольшее возможное количество положительных произведений?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66333

Тема:   [ Взвешивания ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

Имеется железная гиря в 6 кг, сахар и невесомые пакеты в неограниченном количестве, а также нестандартные весы с двумя чашами: весы находятся в равновесии, если грузы на левой и правой чашах относятся как  3 : 4.  За одно взвешивание можно положить на весы любые уже имеющиеся грузы и добавить на одну из чаш пакет с таким количеством сахара, чтобы чаши уравновесились (такие пакеты с сахаром можно использовать при дальнейших взвешиваниях). Удастся ли отмерить 1 кг сахара?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 102 103 104 105 106 107 108 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями