Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 138 139 140 141 142 143 144 >> [Всего задач: 915]

Задача 66309

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Окружность Аполлония	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Mahdi Etesami Fard

Точка D лежит на основании BC равнобедренного треугольника ABC, а точки M и K – на его боковых сторонах AB и AC соответственно, причём AMDK – параллелограмм. Прямые MK и BC пересекаются в точке L. Перпендикуляр к BC, восставленный из точки D, пересекает прямые AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что окружность с центром L, проходящая через D, касается описанной окружности треугольника AXY.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66320

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Фролов И.И.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I и вписан в окружность Ω. Прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые BC и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что описанная окружность ω треугольника PIQ перпендикулярна Ω.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66648

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Вписанные четырехугольники	]
	[	Теорема Паскаля	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Спиридонов И.

Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 66946

Темы:	[	Преобразования плоскости (прочее)	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Решение задач при помощи аффинных преобразований	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Докажите, что две изотомические прямые треугольника не могут пересекаться внутри его серединного треугольника. ( Изотомическими прямыми треугольника $ABC$ называются две прямые, точки пересечения которых с прямыми $BC$, $CA$, $AB$ симметричны относительно середин соответствующих сторон треугольника.)

Прислать комментарий Решение

Задача 67348

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Панов М.Ю.

Разность двух углов треугольника больше $90^{\circ}$. Докажите, что отношение радиусов его описанной и вписанной окружностей больше 4.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 138 139 140 141 142 143 144 >> [Всего задач: 915]