Версия для печати
Убрать все задачи

---

В виртуальном компьютерном государстве не менее двух городов. Некоторые пары городов соединены дорогой, причём из каждого города можно добраться по дорогам до любого другого (переходить с дороги на дорогу разрешается только в городах). Если при этом можно, начав движение из какого-то города и не проходя дважды по одной и той же дороге, вернуться в этот город, государство называется сложным, иначе – простым. Петя и Вася играют в такую игру. В начале игры Петя указывает на каждой дороге направление, в котором по ней можно двигаться, и помещает в один из городов туриста. Далее за ход Петя перемещает туриста по дороге в разрешённом направлении в соседний город, а Вася в ответ меняет направление одной из дорог, входящей или выходящей из города, куда попал турист. Вася победит, если в какой-то момент Петя не сможет сделать ход. Докажите, что
  а) в простом государстве Петя может играть так, чтобы не проиграть, как бы ни играл Вася;
  б) в сложном государстве Вася может гарантировать себе победу, как бы ни играл Петя.

   Решение

---

Доска 7×7 либо пустая, либо на ней лежит "по клеткам" невидимый корабль 2×2. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включённый детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблём. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает?

   Решение

Страница: << 201 202 203 204 205 206 207 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66706

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Гомотетия (прочее) ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В таблице 10×10 записано 100 различных чисел. За ход можно выбрать любой составленный из клеток прямоугольник и переставить все числа в нём симметрично относительно его центра ("повернуть прямоугольник на 180°"). Всегда ли за 99 ходов можно добиться, чтобы числа возрастали в каждой строке слева направо и в каждом столбце – снизу вверх?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66715

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Десятичная запись числа ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Назовём девятизначное число красивым, если все его цифры различны.
Докажите, что существует по крайней мере  а) 1000;  б) 2018 красивых чисел, каждое из которых делится на 37.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66722

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Инварианты и полуинварианты (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На острове живут рыцари, лжецы и подпевалы; каждый знает про всех, кто из них кто. В ряд построили всех 2018 жителей острова и попросили каждого ответить "Да" или "Нет" на вопрос: "На острове рыцарей больше, чем лжецов?". Жители отвечали по очереди и так, что их слышали остальные. Рыцари отвечали правду, лжецы лгали. Каждый подпевала отвечал так же, как большинство ответивших до него, а если ответов "Да" и "Нет" было поровну, давал любой из этих ответов. Оказалось, что ответов "Да" было ровно 1009. Какое наибольшее число подпевал могло быть среди жителей острова?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66723

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Ребусы ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Требуется записать число вида 7...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 7...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66724

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Доска 7×7 либо пустая, либо на ней лежит "по клеткам" невидимый корабль 2×2. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включённый детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблём. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 201 202 203 204 205 206 207 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями