Версия для печати
Убрать все задачи

---

Правильный треугольник разбит прямыми, параллельными его сторонам, на равные между собой правильные треугольники. Один из маленьких треугольников чёрный, остальные – белые. Разрешается перекрашивать одновременно все треугольники, пересекаемые прямой, параллельной любой стороне исходного треугольника. Всегда ли можно с помощью нескольких таких перекрашиваний добиться того, чтобы все маленькие треугольники стали белыми?

   Решение

---

В клетках квадратной таблицы $n\times n$, где  $n$ > 1,  требуется расставить различные целые числа от 1 до $n^2$ так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на $n$, – в разных строках и в разных столбцах. При каких $n$ это возможно?

   Решение

Страница: << 267 268 269 270 271 272 273 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66732

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно $k$ больше 30°. Каково наибольшее возможное значение $k$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66749

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В клетках квадратной таблицы $n\times n$, где  $n$ > 1,  требуется расставить различные целые числа от 1 до $n^2$ так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на $n$, – в разных строках и в разных столбцах. При каких $n$ это возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66751

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ] [ Теория игр (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Есть 100 кучек по 400 камней в каждой. За ход Петя выбирает две кучки, удаляет из них по одному камню и получает за это столько очков, каков теперь модуль разности числа камней в этих двух кучках. Петя должен удалить все камни. Какое наибольшее суммарное количество очков он может при этом получить?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66757

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Петя и Вася играют в игру. Для каждых пяти различных переменных из набора $x_{1}, ..., x_{10}$ имеется единственная карточка, на которой записано их произведение. Петя и Вася по очереди берут по карточке, начинает Петя. По правилам игры, когда все карточки разобраны, Вася присваивает переменным значения как хочет, но так, что  $0 \leqslant x_{1} \leqslant ... \leqslant x_{10}$.  Может ли Вася гарантированно добиться того, чтобы сумма произведений на его карточках была больше, чем у Пети?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66829

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Взвешивания ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 г, серебряные – по 2 г, медные – по 1 г.
Как на чашечных весах без гирек определить тип у всех монет не более чем за 101 взвешивание?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 267 268 269 270 271 272 273 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями