Страница:
<< 268 269 270 271
272 273 274 >> [Всего задач: 1854]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Назовём пару ($m, n$) различных натуральных чисел $m$ и n хорошей, если $mn$ и $(m + 1)(n + 1)$ – точные квадраты.
Докажите, что для каждого натурального $m$ существует хотя бы одно такое $n > m$, что пара ($m, n$) хорошая.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
У Пети было несколько сторублёвок, других денег не было. Петя стал покупать книги (каждая книга стоит целое число рублей) и получать сдачу мелочью
(монетами в 1 рубль). При покупке дорогой книги (не дешевле 100 рублей) Петя расплачивался только сторублёвками (минимальным необходимым их количеством), а при покупке дешёвой (дешевле 100 рублей) расплачивался мелочью, если хватало, а если не хватало – сторублёвкой. К моменту, когда сторублёвок не осталось, Петя потратил на книги ровно половину своих денег. Мог ли Петя потратить на книги хотя бы 5000 рублей?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
В клетчатом деревянном квадрате 102 клетки намазаны чёрной краской. Петя, используя квадрат как печать, 100 раз приложил его к белому листу, и каждый раз эти 102 клетки (и только они) оставляли чёрный отпечаток на бумаге. Мог ли в итоге на листе получиться квадрат 101×101, все клетки которого, кроме одной угловой, чёрные?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Дана возрастающая последовательность положительных чисел $...< a_{-2} < a_{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$ бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых $k$ подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих $k$ членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, ...
либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2$n$ кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?
Страница:
<< 268 269 270 271
272 273 274 >> [Всего задач: 1854]
Фильтр
