Версия для печати
Убрать все задачи

---

Петя прибавил к натуральному числу $N$ натуральное число $M$ и заметил, что сумма цифр у результата та же, что и у $N$. Тогда он снова прибавил $M$ к результату, потом – ещё раз, и т. д. Обязательно ли он когда-нибудь снова получит число с той же суммой цифр, что и у $N$?

   Решение

Страница: << 353 354 355 356 357 358 359 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66911

Темы:   [ Индукция в геометрии ] [ Многочлены ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Найдите хоть одно вещественное число $A$ со свойством: для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части числа $A^n$ до ближайшего квадрата целого числа равно 2. (Верхняя целая часть числа $x$ – наименьшее целое число, не меньшее $x$.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66912

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Окружности на сфере ] [ Сферы (прочее) ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Дано целое $n>2$. На сфере радиуса 1 требуется расположить $n$ попарно не пересекающихся дуг больших окружностей, все дуги равной длины $\alpha$. Докажите, что

а) при любом $\alpha<\pi+\frac{2\pi}n$ это возможно;

б) при любом $\alpha>\pi+\frac{2\pi}n$ это невозможно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67155

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Теорема Пика ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Пусть $n$ > 1 – целое число. В одной из клеток бесконечной белой клетчатой доски стоит ладья. Каждым ходом она сдвигается по доске ровно на $n$ клеток по вертикали или по горизонтали, закрашивая пройденные $n$ клеток в чёрный цвет. Сделав несколько таких ходов, не проходя никакую клетку дважды, ладья вернулась в исходную клетку. Чёрные клетки образуют замкнутый контур. Докажите, что число белых клеток внутри этого контура даёт при делении на $n$ остаток 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67156

Темы:   [ Центральная симметрия (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

На сторонах правильного девятиугольника $ABCDEFGHI$ во внешнюю сторону построили треугольники $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$. Известно, что углы $X$, $Y$, $Z$, $T$ этих треугольников равны $20^{\circ}$ каждый, а среди углов $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$ каждый следующий на $20^{\circ}$ больше предыдущего. Докажите, что точки $X$, $Y$, $Z$, $T$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67157

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Петя прибавил к натуральному числу $N$ натуральное число $M$ и заметил, что сумма цифр у результата та же, что и у $N$. Тогда он снова прибавил $M$ к результату, потом – ещё раз, и т. д. Обязательно ли он когда-нибудь снова получит число с той же суммой цифр, что и у $N$?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 353 354 355 356 357 358 359 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями