Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 67216 (#11 [8-10 кл])

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Курский М.

Пусть $H$ – ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$; $E$, $F$ – такие точки на сторонах $AB$, $AC$ соответственно, что $AEHF$ – параллелограмм; $X$, $Y$ – точки пересечения прямой $EF$ с описанной окружностью $\omega$ треугольника $ABC$; $Z$ – точка $\omega$, диаметрально противоположная $A$. Докажите, что $H$ – ортоцентр треугольника $XYZ$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67217 (#12 [8-11 кл])

Темы:	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]
Темы:	[	Планиметрия (прочее)	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Рябов П., Заславский А.А.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $B$ отмечены такие точки $P$ и $Q$ на $AC$, что $AP=PB$, $BQ=QC$. Окружность $BPQ$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $M$ соответственно.

а) (П.Рябов) Докажите, что точка $R$ пересечения $PM$ и $NQ$ равноудалена от $A$ и $C$.

б) (А.Заславский) Пусть $BR$ пересекает $AC$ в точке $S$. Докажите, что $MN\perp OS$, где $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67218 (#13 [8-11 кл])

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
Темы:	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Марданов А.

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ вдвое больше основания $BC$, а угол $C$ в полтора раза больше угла $A$. Диагональ $AC$ делит угол $C$ на два угла. Определите, какой из них больше?

Прислать комментарий Решение

Задача 67219 (#14 [8-11 кл])

Темы:	[	Центральная симметрия (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Топология (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Скопенков А.Б.

Замкнутая, возможно, самопересекающаяся ломаная симметрична относительно не лежащей на ней точки $O$. Докажите, что число оборотов ломаной вокруг $O$ нечётно. (Числом оборотов вокруг $O$ называется сумма ориентированных углов $$\angle A_1OA_2+\angle A_2OA_3+\ldots+\angle A_{n-1}OA_n+\angle A_nOA_1,$$ делённая на $2\pi$.)

Прислать комментарий Решение

Задача 67220 (#15 [9-10 кл])

Тема:

[

Теорема синусов

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Матвеев А.

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Точки $X$ и $Y$ лежат на продолжениях за точку $D$ сторон $CD$ и $AD$ соответственно, причем $DX=AB$ и $DY=BC$. Аналогично, точки $Z$ и $T$ лежат на продолжениях за точку $B$ сторон $CB$ и $AB$, причем $BZ=AD$ и $BT=DC$. Пусть $M_1$ – середина $XY$, $M_2$ – середина $ZT$. Докажите, что прямые $DM_1$, $BM_2$ и $AC$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]