Версия для печати
Убрать все задачи

---

В квадрате отметили 20 точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и с вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько получилось треугольников?

   Решение

---

Докажите иррациональность следующих чисел:

а)   ;

б)   ;

в)   ;

г)   ;

д)  cos 10° ;

е)  tg 10° ;

ж)  sin 1° ;

з)  log₂3 .

   Решение

---

В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Медиана AD пересекает её в точках X и Y. Найдите угол XOY, если  AC = AB + AD.

   Решение

---

Двое играют в следующую игру: первый выписывает в ряд по своему желанию буквы А или Б (слева направо, одну за другой; по одной букве за ход), а второй после каждого хода первого меняет местами любые две из выписанных букв или ничего не меняет (это тоже считается ходом). После того, как оба игрока сделают по 1999 ходов, игра заканчивается. Может ли второй играть так, чтобы при любых действиях первого игрока в результате получился палиндром (то есть слово, которое читается одинаково слева направо и справа налево)?

   Решение

---

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Касательные к описанной окружности треугольника AIC в точках A, C пересекаются в точке X. Касательные к описанной окружности треугольника BID в точках B, D пересекаются в точке Y. Докажите, что точки X, I, Y лежат на одной прямой.

   Решение

---

Точка Фейербаха неравнобедренного треугольника лежит на биссектрисе одного из его углов. Докажите, что она делит пополам отрезок между вершиной этого угла и центром вписанной окружности.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67538  (#16 [9-11 кл])

Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Точка Фейербаха неравнобедренного треугольника лежит на биссектрисе одного из его углов. Докажите, что она делит пополам отрезок между вершиной этого угла и центром вписанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67539  (#17 [9-11 кл])

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Формула Эйлера ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$; $D$, $E$, $F$ – точки касания его вневписанной окружности со стороной $BC$ и продолжениями сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что если ортоцентр треугольника $DEF$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, то он симметричен середине дуги $BC$ относительно прямой $OI$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67540  (#18 [9-11 кл])

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Гомотетичные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан четырехугольник $ABCD$. Вневписанные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ треугольников $ABC$ и $BCD$, касающиеся сторон $AB$ и $BD$ соответственно, касаются продолжения стороны $BC$ в общей точке $P$. Отрезок $AD$ пересекает $\omega_2$ в точке $Q$, а прямая $AD$ пересекает $\omega_1$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что один из углов $RPQ$ и $SPQ$ прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67541  (#19 [10-11 кл])

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вневписанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$; $A'$, $B'$, $C'$ – ортоцентры треугольников $BIC$, $AIC$, $AIB$; $M_a$, $M_b$, $M_c$ – середины $BC$, $CA$, $AB$, а $S_a$, $S_b$, $S_c$ – середины $AA'$, $BB'$, $CC'$. Докажите, что $M_aS_a$, $M_bS_b$, $M_cS_c$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67542  (#20 [10-11 кл])

Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Пусть $H$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$, а $M$ и $N$ – середины $BC$ и $AH$ соответственно. Перпендикуляр из $N$ к прямой $MH$ пересекает $BC$ в точке $A'$. Точки $B'$ и $C'$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A'$, $B'$, $C'$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями