Версия для печати
Убрать все задачи

---

Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q.
Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.

   Решение

---

Дан четырехугольник $ABCD$. Вневписанные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ треугольников $ABC$ и $BCD$, касающиеся сторон $AB$ и $BD$ соответственно, касаются продолжения стороны $BC$ в общей точке $P$. Отрезок $AD$ пересекает $\omega_2$ в точке $Q$, а прямая $AD$ пересекает $\omega_1$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что один из углов $RPQ$ и $SPQ$ прямой.

   Решение

Страница: << 126 127 128 129 130 131 132 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116904

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ симметричны точкам A₁, B₁, C₁ относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116905

Темы:   [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Построения с помощью вычислений ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Формула Герона ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC провели биссектрису CL. В треугольники CAL и CBL вписали окружности, которые касаются прямой AB в точках M и N соответственно. Затем все, кроме точек A, L, M и N, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116912

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Точку внутри треугольника назовём хорошей, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116917

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Точка Лемуана ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Дан треугольник ABC. Касательная в точке C к его описанной окружности пересекает прямую AB в точке D. Касательные к описанной окружности треугольника ACD в точках A и C пересекаются в точке K. Докажите, что прямая DK делит отрезок BC пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67540

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Гомотетичные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан четырехугольник $ABCD$. Вневписанные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ треугольников $ABC$ и $BCD$, касающиеся сторон $AB$ и $BD$ соответственно, касаются продолжения стороны $BC$ в общей точке $P$. Отрезок $AD$ пересекает $\omega_2$ в точке $Q$, а прямая $AD$ пересекает $\omega_1$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что один из углов $RPQ$ и $SPQ$ прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 126 127 128 129 130 131 132 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями