Версия для печати
Убрать все задачи

---

Через вершину правильного тетраэдра проведена плоскость, касающаяся его вписанной сферы и отсекающая от противоположной грани треугольник. Докажите, что периметр этого треугольника не зависит от выбора плоскости.

   Решение

Страница: << 287 288 289 290 291 292 293 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67596

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что при некотором натуральном $N$ строго между соседними кубами $N^3$ и $(N+1)^3$ находится ровно $1000$ точных квадратов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67600

Тема:   [ Кооперативные алгоритмы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

$N$ узников сидят в камерах, расположенных по кругу. Сегодня у них есть возможность посовещаться и договориться, а завтра поутру каждый узник бросит игральный кубик. После этого каждый должен сделать предположение — какое число выпало у каждого из 5 узников, сидящих в 5 камерах, следующих по часовой стрелке. Если будет угадано хотя бы одно из выпавших чисел хоть у какого-то узника, всех освободят. Как им действовать, чтобы гарантированно выйти на свободу, если

а) $N=47$;

б) $N=48$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67636

Темы:   [ Правильный тетраэдр ] [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Через вершину правильного тетраэдра проведена плоскость, касающаяся его вписанной сферы и отсекающая от противоположной грани треугольник. Докажите, что периметр этого треугольника не зависит от выбора плоскости.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67638

Темы:   [ Теория игр ] [ Симметричная стратегия ] [ Свойства коэффициентов многочлена ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан многочлен $$*x^n+*x^{n-1}+\ldots+*x+*,$$ вместо каждого из $n+1$ его коэффициентов записана звёздочка. Играют двое, ходят по очереди, за ход выбирают любую звёздочку и заменяют её на любое целое ненулевое число. Когда звёздочек не останется, игрок, сделавший последний ход, выиграет, если у получившегося многочлена есть целый корень, иначе выиграет другой игрок. При каждом натуральном $n$ выясните, кто из игроков может гарантировать себе победу, как бы ни играл его соперник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67639

Темы:   [ Теория алгоритмов ] [ Оценка + пример ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

Квадрат $N\times N$ разбит на $N^2$ единичных квадратов. Одна из вершин единичных квадратов радиоактивна. Имеется также прибор, который про любой из этих единичных квадратов определяет, есть ли среди его вершин радиоактивная. Найдите радиоактивную вершину за наименьшее число проверок, если а) $N=7$; б) $N=8$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 287 288 289 290 291 292 293 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями