Версия для печати
Убрать все задачи

---

64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в каждом столбце меньше 1035.

   Решение

Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 1984]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78036

Тема:   [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Найти все действительные решения системы
   x³ + y³ = 1,
   x⁴ + y⁴ = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78039

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Квадратная таблица в n² клеток заполнена числами от 1 до n так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа. Если n нечётно и таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встретятся все эти числа 1, 2, 3,..., n. Доказать.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78042

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Четность и нечетность ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Решить в целых числах уравнение  x³ – 2y³ – 4z³ = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78049

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A₁...A_n и соединена отрезками с вершинами. Стороны n-угольника нумеруются числами от 1 до n, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками OA₁, ..., OA_n.
  а) При  n = 9  найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников A₁OA₂, ..., A_nOA₁ одинакова.
  б) Доказать, что при  n = 10  такой нумерации осуществить нельзя.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78052

Темы:   [ Подобные треугольники ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Дан треугольник ABC. На сторонах AB, BC, CA взяты соответственно точки C₁, A₁, B₁ так, что  AC₁ : C₁B = BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A = 1 : n.  На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁ треугольника A₁B₁C₁ взяты соответственно точки C₂, A₂, B₂ так, что  A₁C₂ : C₂B₁ = B₁A₂ : A₂C₁ = C₁B₂ : B₂A₁ = n : 1.  Доказать, что  A₂C₂ || AC,  C₂B₂ || CB,   B₂A₂ || BA.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 1984]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями