Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 109 110 111 112 113 114 115 >> [Всего задач: 1957]

Задача 78150

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 78153

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Сторона клетки клетчатой бумаги равна 1. По линиям сетки построен прямоугольник со сторонами m и n. Можно ли в прямоугольнике провести по линиям сетки замкнутую ломаную, которая ровно один раз проходила бы через каждый узел сетки, расположенный внутри или на границе прямоугольника? Если можно, то какова её длина?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78156

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Внутри угла AOB взята точка C, опущены перпендикуляры CD на сторону OA и CE на сторону OB. Затем опущены перпендикуляры EM на сторону OA и DN на сторону OB. Доказать, что OC ⊥ MN.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78159

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Решить в натуральных числах уравнение x^2y–1 + (x + 1)^2y–1 = (x + 2)^2y–1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78170

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Доказать, что число 2^2¹⁹⁵⁹ – 1 делится на 3.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 109 110 111 112 113 114 115 >> [Всего задач: 1957]