ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Годы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 112 113 114 115 116 117 118 >> [Всего задач: 1957]      



Задача 78251

Темы:   [ Числа Фибоначчи ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Дана последовательность чисел F1, F2, ...;  F1 = F2 = 1  и   Fn+2 = Fn + Fn+1.  Доказать, что F5k делится на 5 при  k = 1, 2, ... .

Прислать комментарий     Решение

Задача 78260

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Доказать, что не существует целых чисел a, b, c, d, удовлетворяющих равенствам:
  abcd – a = 1961,
  abcd – b = 961,
  abcd – c = 61,
  abcd – d = 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78261

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Ломаные ]
Сложность: 3+
Классы: 9

Дана фигура, состоящая из 16 отрезков (см. рис.).

Доказать, что нельзя провести ломаную, пересекающую каждый из отрезков ровно один раз. Ломаная может быть незамкнутой и самопересекающейся, но её вершины не должны лежать на отрезках, а стороны – проходить через вершины фигуры.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78267

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

a, b, p – любые целые числа. Доказать, что найдутся такие взаимно простые k, l, что  ak + bl  делится на p.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78274

Тема:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное положение.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 112 113 114 115 116 117 118 >> [Всего задач: 1957]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .