Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 111 112 113 114 115 116 117 >> [Всего задач: 1984]

Задача 78156

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Внутри угла AOB взята точка C, опущены перпендикуляры CD на сторону OA и CE на сторону OB. Затем опущены перпендикуляры EM на сторону OA и DN на сторону OB. Доказать, что OC ⊥ MN.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78159

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Решить в натуральных числах уравнение x^2y–1 + (x + 1)^2y–1 = (x + 2)^2y–1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78170

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Доказать, что число 2^2¹⁹⁵⁹ – 1 делится на 3.

Прислать комментарий Решение

Задача 78178

Темы:	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Имеется 1959 положительных чисел a₁, a₂..., a₁₉₅₉, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78184

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

В квадратную таблицу N×N записаны все целые числа по следующему закону: 1 стоит на любом месте, 2 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 1, 3 стоит в строке с номером, равным номеру столбца, содержащего 2, и так далее. На сколько сумма чисел в столбце, содержащем N², отличается от суммы чисел в строке, содержащей 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 111 112 113 114 115 116 117 >> [Всего задач: 1984]