Постройте окружность, проходящую через данную точку A и касающуюся данной прямой в данной точке B.

   Решение

Царь пообещал награду тому, кто сможет на каменистом пустыре посадить красивый фруктовый сад. Об этом узнали два брата. Старший смог выкопать 18 ям (см. рис. слева). Больше нигде не удалось, только все лопаты сломал. Царь рассердился и посадил его в темницу. Тогда младший брат Иван предложил разместить яблони, груши и сливы в вершинах равных треугольников (см. рис. справа), а остальные ямы засыпать.

Царь ответил так:
— Хорошо, если деревьев каждого вида будет ровно по три и они будут расти в вершинах равных треугольников, выйдет красиво. Но три вида — слишком мало. Если кроме яблонь, груш и слив будут ещё и абрикосы — отпущу брата. Если добавишь пятый вид — черешню — заплачу за работу. Мне ещё миндаль нравится, но шесть треугольников ты тут не сможешь разместить.
— А если смогу?
— Тогда проси чего хочешь!
Иван задумался, не получить ли заодно и полцарства. Подумайте и вы: разместите как можно больше видов деревьев в вершинах равных треугольников. (Равенство треугольников означает равенство всех его сторон и углов, то есть точное совпадение при наложении; треугольники можно поворачивать и переворачивать. В одной яме может расти только одно дерево.)

   Решение

На каждой стороне прямоугольного треугольника построено по квадрату (пифагоровы штаны), и вся фигура вписана в круг. Для каких прямоугольных треугольников это можно сделать?

   Решение

Число 4 обладает тем свойством, что при делении его на q² остаток получается меньше ^q²/₂, каково бы ни было q.
Перечислить все числа, обладающие этим свойством.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла.

   Решение

Фокусник научил Каштанку лаять столько раз, сколько он ей тайком от публики покажет. Когда Каштанка таким способом правильно ответила, сколько будет дважды два, он спрятал вкусный кекс в чемодан с кодовым замком и сказал:

— Восьмизначный код от чемодана — решение ребуса УЧУЙ = КЕ × КС. Надо заменить одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные разными так, чтобы получилось верное равенство. Пролай нужное число раз на каждую из восьми букв, и получишь угощение.

Но тут случился конфуз. Каштанка от волнения на каждую букву лаяла на 1 раз больше, чем надо. Конечно, чемодан не открылся. Вдруг раздался детский голос: «Нечестно! Собака правильно решила ребус!» И действительно, если каждую цифру решения, которое имел в виду фокусник, увеличить на 1, получится ещё одно решение ребуса!

Можно ли восстановить: а) какое именно решение имел в виду фокусник; б) чему равнялось число УЧУЙ в этом решении?

   Решение

Чему равна максимальная разность между соседними числами из числа тех, сумма цифр которых делится на 7?

   Решение

Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 1957]      

Внутри окружности расположен выпуклый пятиугольник (вершины могут лежать как внутри, так и на окружности). Доказать, что хотя бы одна из его сторон не больше стороны правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

Прислать комментарий

Решение

Чему равна максимальная разность между соседними числами из числа тех, сумма цифр которых делится на 7?

Прислать комментарий

Решение

Семь школьников решили за воскресенье обойти семь кинотеатров. Во всех них сеансы начинаются в 9.00, 10.40, 12.20, 14.00, 15.40, 17.20, 19.00 и 20.40 (8 сеансов). На каждый сеанс шестеро шли вместе, а кто-нибудь один (не обязательно один и тот же) шел в другой кинотеатр. К вечеру каждый побывал в каждом кинотеатре. Докажите, что в каждом кинотеатре был сеанс, на котором не был ни один из этих школьников.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли расставить на окружности числа 1, 2...12 так, чтобы разность между двумя рядом стоящими числами была 3, 4 или 5?

Прислать комментарий

Решение

Можно ли расположить на плоскости 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими своими концами упирался строго внутрь других отрезков?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 1957]