Версия для печати
Убрать все задачи

---

На высотах $AA_0$, $BB_0$, $CC_0$ остроугольного неравностороннего треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $A_1, B_1, C_1$ так, что  $AA_1 = BB_1 = CC_1 = R$,  где $R$ – радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника $ABC$.

   Решение

---

а) Даны две одинаковые шестерёнки с 14 зубьями каждая. Их наложили друг на друга так, что зубья совпали (так что проекция на плоскость выглядит как одна шестерёнка). После этого четыре пары совпадающих зубьев выпилили. Всегда ли можно повернуть эти шестерёнки друг относительно друга так, чтобы проекция на плоскость выглядела как одна целая шестерёнка? (Шестерёнки можно поворачивать, но нельзя переворачивать.)

б) Тот же вопрос про две шестерёнки с 13 зубьями, из которых выпилили по 4 зуба.

   Решение

Страница: << 178 179 180 181 182 183 184 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67506

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Дан многочлен с целыми коэффициентами, имеющий хотя бы один целый корень. Наибольший общий делитель всех его целых корней равен $1$. Докажите, что если старший коэффициент многочлена равен $1$, то наибольший общий делитель остальных коэффициентов тоже равен $1$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67486

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В остроугольном треугольнике $ABC$ отмечены точки $I$ и $O$ — центры вписанной и описанной окружностей соответственно. Прямые $AI$ и $CI$ вторично пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $N$ и $M$. Отрезки $MN$ и $BO$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что прямые $XI$ и $AC$ перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97945

Темы:   [ Доказательство от противного ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

2000 яблок лежат в нескольких корзинах. Разрешается убирать корзины и вынимать яблоки из корзин.
Доказать, что можно добиться того, чтобы во всех оставшихся корзинах было поровну яблок, а общее число яблок было не меньше 100.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97984

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

а) Даны две одинаковые шестерёнки с 14 зубьями каждая. Их наложили друг на друга так, что зубья совпали (так что проекция на плоскость выглядит как одна шестерёнка). После этого четыре пары совпадающих зубьев выпилили. Всегда ли можно повернуть эти шестерёнки друг относительно друга так, чтобы проекция на плоскость выглядела как одна целая шестерёнка? (Шестерёнки можно поворачивать, но нельзя переворачивать.)

б) Тот же вопрос про две шестерёнки с 13 зубьями, из которых выпилили по 4 зуба.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53708

Темы:   [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Взаимно перпендикулярные прямые l и m пересекаются в точке P окружности так, что они разбивают окружность на три дуги. Отметим на каждой дуге такую точку, что проведённая через неё касательная к окружности пересекается с прямыми l и m в точках равноотстоящих от точки касания. Докажите, что три отмеченные точки являются вершинами равностороннего треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 178 179 180 181 182 183 184 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями