Версия для печати
Убрать все задачи

---

Володя хочет сделать набор кубиков одного размера и написать на каждой грани каждого кубика по одной цифре так, чтобы можно было из этих кубиков выложить любое 30-значное число. Какого наименьшего количества кубиков ему для этого хватит? (Цифры 6 и 9 при переворачивании не превращаются друг в друга.)

   Решение

---

На шахматной доске 4×4 расположена фигура – "летучая ладья", которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход стать на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, становясь на каждое поле по разу, и вернуться на исходное поле?

   Решение

---

В ряд лежат 100 камней: чёрный, белый, чёрный, белый, ..., чёрный, белый. Одной операцией либо выбирают два чёрных камня, между которыми лежат только белые камни, и перекрашивают все эти белые камни в чёрный цвет, либо выбирают два белых камня, между которыми лежат только чёрные камни, и перекрашивают все эти чёрные камни в белый цвет. Можно ли за несколько таких операций получить ряд, в котором идут сначала 50 чёрных камней, а потом 50 белых?

   Решение

---

a, b и c – целые числа. Докажите, что если  a = b + c,  то  a⁴ + b⁴ + c⁴  есть удвоенный квадрат целого числа.

   Решение

---

В ряд записаны $5$ натуральных чисел. Каждое из них, кроме первого, — наименьшее натуральное число, на которое не делится предыдущее. Могут ли все пять чисел быть различными?

   Решение

---

Докажите, что произведение 99 дробей     где  k = 2, 3, ..., 100,  больше ⅔.

   Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98085

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Тождественные преобразования ] [ Разложение на множители ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Докажите, что произведение 99 дробей     где  k = 2, 3, ..., 100,  больше ⅔.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98091

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Укажите все такие натуральные n и целые неравные друг другу x и y, при которых верно равенство:   x + x² + x⁴ + ... + x²ⁿ = y + y² + y⁴ + ... + y²ⁿ.

 

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98102  [Летучая ладья]

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

На шахматной доске 4×4 расположена фигура – "летучая ладья", которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход стать на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, становясь на каждое поле по разу, и вернуться на исходное поле?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98103

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Обыкновенные дроби ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98104

Темы:   [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

На окружности записаны шесть чисел: каждое равно модулю разности двух чисел, стоящих после него по часовой стрелке.
Сумма всех чисел равна 1. Найти эти числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями