Версия для печати
Убрать все задачи

---

Петя и Вася играют в игру. Для каждых пяти различных переменных из набора $x_{1}, ..., x_{10}$ имеется единственная карточка, на которой записано их произведение. Петя и Вася по очереди берут по карточке, начинает Петя. По правилам игры, когда все карточки разобраны, Вася присваивает переменным значения как хочет, но так, что  $0 \leqslant x_{1} \leqslant ... \leqslant x_{10}$.  Может ли Вася гарантированно добиться того, чтобы сумма произведений на его карточках была больше, чем у Пети?

   Решение

---

Существуют ли такие две функции  f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
  а)  f(f(x)) = x,  g(g(x)) = x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?
  б)  f(f(x)) < x, g(g(x)) < x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?

   Решение

---

а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.

б) Рассмотрим такие n, что набор гирь 1, 2, ... , n г можно разделить на две части, равные по весу.
Верно ли, что для любого такого n, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?

   Решение

Страница: << 305 306 307 308 309 310 311 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98457

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Шахматная раскраска ] [ Четность и нечетность ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Теория алгоритмов ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

а) На каждом из полей верхней и нижней горизонтали шахматной доски 8×8 стоит по фишке: внизу – белые, вверху – чёрные. За один ход разрешается передвинуть любую фишку на соседнюю свободную клетку по вертикали или горизонтали. За какое наименьшее число ходов можно добиться того, чтобы все чёрные фишки стояли внизу, а белые – вверху?

б) Тот же вопрос для доски 7×7.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98458

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Десятичная система счисления ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Сначала в последовательности одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерёма – вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98464

Темы:   [ Взвешивания ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Уравнения в целых числах ] [ Перебор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

а) 100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.

б) Рассмотрим такие n, что набор гирь 1, 2, ... , n г можно разделить на две части, равные по весу.
Верно ли, что для любого такого n, большего 3, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98465

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

На большой шахматной доске отметили 2n клеток так, что ладья может ходить по всем отмеченным клеткам, не перепрыгивая через неотмеченные.
Докажите, что фигуру из отмеченных клеток можно разрезать на n прямоугольников.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98466

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Средние величины ] [ Неравенства с углами ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Докажите, что у выпуклого 10n-гранника найдётся n граней с одинаковым числом сторон.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 305 306 307 308 309 310 311 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями