Версия для печати
Убрать все задачи

---

В стране 100 городов, между каждыми двумя городами осуществляется беспосадочный перелёт. Все рейсы платные и стоят положительное (возможно, нецелое) число тугриков. Для любой пары городов А и Б перелёт из А в Б стоит столько же, сколько перелёт из Б в А. Средняя стоимость перелёта равна 1 тугрику. Путешественник хочет облететь какие-нибудь m разных городов за m перелётов, начав и закончив в своём родном городе. Всегда ли ему удастся совершить такое путешествие, потратив на билеты не более m тугриков, если
  а)  m = 99;
  б)  m = 100?

   Решение

---

Доминошки 1×2 кладут без наложений на шахматную доску 8×8. При этом доминошки могут вылезать за границу доски, но центр каждой доминошки должен лежать строго внутри доски (не на границе). Положите таким образом на доску
  а) хотя бы 40 доминошек;
  б) хотя бы 41 доминошку;
  в) более 41 доминошки.

   Решение

---

а) На доске выписано 100 различных чисел. Докажите, что среди них можно выбрать восемь чисел так, чтобы их среднее арифметическое не представлялось в виде среднего арифметического никаких девяти из выписанных на доске чисел.

б) На доске выписано 100 целых чисел. Известно, что для любых восьми из этих чисел найдутся такие девять из этих чисел, что среднее арифметическое этих восьми чисел равно среднему арифметическому этих девяти чисел. Докажите, что все числа равны.

   Решение

---

Существуют ли такие натуральные числа  a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀₀,  что  НОК(a₁, a₂) > НОК(a₂, a₃) > ... > НОК(a₉₉, a₁₀₀)?

   Решение

Страница: << 231 232 233 234 235 236 237 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98550

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существуют ли такие натуральные числа  a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀₀,  что  НОК(a₁, a₂) > НОК(a₂, a₃) > ... > НОК(a₉₉, a₁₀₀)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98551

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 64 так, что соседние номера стоят в соседних (по стороне) клетках.
Какова наименьшая возможная сумма номеров на диагонали?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98552

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Процессы и операции ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Инварианты ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Пусть F₁, F₂, F₃, ... – последовательность выпуклых четырёхугольников, где F_k+1  (при k = 1, 2, 3, ...)  получается так: F_k разрезают по диагонали, одну из частей переворачивают и склеивают по линии разреза с другой частью. Какое наибольшее количество различных четырёхугольников может содержать эта последовательность? (Различными считаются многоугольники, которые нельзя совместить движением.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98560

Темы:   [ Взвешивания ] [ Четность и нечетность ] [ Инварианты ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

а) Есть 128 монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса не более чем за семь взвешиваний?
б) Есть восемь монет двух различных весов, монет каждого веса поровну. Как на чашечных весах без гирь гарантированно найти две монеты разного веса за два взвешивания?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98563

Темы:   [ Взвешивания ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Есть шесть кусков сыра разного веса. Известно, что можно разложить сыр на две кучки по три куска так, чтобы кучки весили поровну.
Как можно сделать это за два взвешивания на чашечных весах без гирь, если про любые два куска на глаз видно, какой весит больше?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 231 232 233 234 235 236 237 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями