Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вершины 50-угольника делят окружность на 50 дуг, длины которых – 1, 2, 3, ..., 50 в некотором порядке. Известно, что каждая пара "противоположных" дуг (соответствующих противоположным сторонам 50-угольника) отличается по длине на 25. Докажите, что у 50-угольника найдутся две параллельные стороны.

   Решение

Страница: << 233 234 235 236 237 238 239 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98587

Темы:   [ Плоскость, разрезанная прямыми ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Несколько прямых, никакие две из которых не параллельны, разрезают плоскость на части. Внутри одной из этих частей отметили точку A.
Докажите, что точка, лежащая с A по разные стороны от всех данных прямых, существует тогда и только тогда, когда часть, содержащая A, неограничена.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98589

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Десятичная система счисления ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В бесконечной последовательности натуральных чисел каждое следующее число получается прибавлением к предыдущему одной из его ненулевых цифр.
Докажите, что в этой последовательности найдётся чётное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98592

Темы:   [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Вершины 50-угольника делят окружность на 50 дуг, длины которых – 1, 2, 3, ..., 50 в некотором порядке. Известно, что каждая пара "противоположных" дуг (соответствующих противоположным сторонам 50-угольника) отличается по длине на 25. Докажите, что у 50-угольника найдутся две параллельные стороны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98593

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята точка P так, что  ∠ABP = ∠ACP,  а  ∠CBP = ∠CAP. Докажите, что P – точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98598

Темы:   [ Куб ] [ Свойства сечений ] [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Некоторый куб рассекли плоскостью так, что в сечении получился пятиугольник.
Докажите, что длина одной из сторон этого пятиугольника отличается от 1 метра по крайней мере на 20 сантиметров.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 233 234 235 236 237 238 239 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями