В ряд выписаны действительные числа a₁, a₂, a₃, ..., a₁₉₉₆. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.

   Решение

На каждой клетке доски 10×10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит чётное число фишек, и снять с неё любую фишку.
Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?

   Решение

По доске $n$×$n$ прошла ладья, побывав в каждой клетке один раз, причем каждый её ход был ровно на одну клетку. Клетки занумерованы от 1 до $n^2$ в порядке прохождения ладьи. Пусть $M$ – максимальная разность между номерами соседних (по стороне) клеток. Каково наименьшее возможное значение $M$?

   Решение

Два десятизначных числа назовем соседними, если они различаются только одной цифрой в каком-то из разрядов (например, 1234567890 и 1234507890 соседние). Какое наибольшее количество десятизначных чисел можно выписать так, чтобы среди них не было соседних?

   Решение

Назовём расположенный в пространстве треугольник $ABC$ удобным, если для любой точки $P$ вне его плоскости из отрезков $PA, PB$ и $PC$ можно сложить треугольник. Какие углы может иметь удобный треугольник?

   Решение

В четырёхугольнике ABCD  AB = BC = CD = 1,  AD не равно 1. Положение точек B и C фиксировано, точки же A и D подвергаются преобразованиям, сохраняющим длины отрезков AB, CD и AD. Новое положение точки A получается из старого зеркальным отражением в отрезке BD, новое положение точки D получается из старого зеркальным отражением в отрезке AC (где A уже новое), затем на втором шагу опять A отражается относительно BD (D уже новое), затем снова преобразуется D, затем аналогично проводится третий шаг, и так далее. Докажите, что на каком-то шагу положение точек совпадает с первоначальным.

   Решение

На плоскости даны парабола  y = x²  и окружность, имеющие ровно две общие точки: A и B. Оказалось, что касательные к окружности и параболе в точке A совпадают. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке B также совпадают?

   Решение

При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что  |$a - b$| ≤ $k$  или  |¹/_a – ¹/_b| ≤ $k$?

   Решение

Окружности Ω₁ и Ω₂ пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, вторично пересекающая Ω₁ и Ω₂ в точках K и M соответственно. Прямая l₁ касается Ω₁ в точке Q и параллельна прямой AM. R – вторая точка пересечения прямой QA с Ω₂. Докажите, что
  а) касательная l₂, проведённая к Ω₂ в точке R, параллельна AK.;
  б) прямые l₁, l₂ и K имеют общую точку.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      

Выпуклый N-угольник разбит диагоналями на треугольники (при этом диагонали не пересекаются внутри многоугольника). Треугольники раскрашены в чёрный и белый цвета так, что каждые два треугольника с общей стороной раскрашены в разные цвета. Для каждого N найдите максимум разности количества белых и количества чёрных треугольников.

Прислать комментарий

Решение

Имеется много карточек, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до n. Известно, что сумма чисел на всех карточках равна n!·k, где k – целое число. Докажите, что карточки можно разложить на k групп так, чтобы в каждой группе сумма чисел, записанных на карточках, равнялась n!.

Прислать комментарий

Решение

а) Электрическая схема имеет вид решетки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от каждого узла к любому другому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться?

б) Тот же вопрос для решётки 5×5 (всего 36 узлов).

Прислать комментарий

Решение

Окружности Ω₁ и Ω₂ пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, вторично пересекающая Ω₁ и Ω₂ в точках K и M соответственно. Прямая l₁ касается Ω₁ в точке Q и параллельна прямой AM. R – вторая точка пересечения прямой QA с Ω₂. Докажите, что
  а) касательная l₂, проведённая к Ω₂ в точке R, параллельна AK.;
  б) прямые l₁, l₂ и K имеют общую точку.

Прислать комментарий

Решение

Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член – это наименьшее натуральное число, которое еще не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное число входит в эту последовательность.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]