Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 348 349 350 351 352 353 354 >> [Всего задач: 1956]

Задача 58346 (#28.028)

Темы:	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Пересекающиеся окружности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Две окружности, пересекающиеся в точке A, касаются окружности (или прямой) S₁ в точках B₁ и C₁, а окружности (или прямой) S₂ в точках B₂ и C₂ (причем касание в B₂ и C₂ такое же, как в B₁ и C₁). Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников AB₁C₁ и AB₂C₂, касаются друг друга.

Прислать комментарий Решение

Задача 58347 (#28.028.1)

Темы:	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Окружность S_A проходит через точки A и C; окружность S_B проходит через точки B и C; центры обеих окружностей лежат на прямой AB. Окружность S касается окружностей S_A и S_B, а кроме того, она касается отрезка AB в точке C₁. Докажите, что CC₁ — биссектриса треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 58348 (#28.029)

[Теорема Фейербаха]

Темы:	[	Цепочки окружностей. Теорема Фейербаха	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что окружность, проходящая через середины сторон треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей (теорема Фейербаха).
б) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки C₁ и B₁ так, что AC₁ = B₁C₁ и вписанная окружность S треугольника ABC является вневписанной окружностью треугольника AB₁C₁. Докажите, что вписанная окружность треугольника AB₁C₁ касается окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 58349 (#28.030)

Тема:

[

Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Даны четыре окружности, причем окружности S₁ и S₃ пересекаются с обеими окружностями S₂ и S₄. Докажите, что если точки пересечения S₁ с S₂ и S₃ с S₄ лежат на одной окружности или прямой, то и точки пересечения S₁ с S₄ и S₂ с S₃ лежат на одной окружности или прямой (рис.).

Прислать комментарий

Решение

Задача 58350 (#28.031)

Темы:	[	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Даны четыре окружности S₁, S₂, S₃, S₄. Пусть S₁ и S₂ пересекаются в точках A₁ и A₂, S₂ и S₃ — в точках B₁ и B₂, S₃ и S₄ — в точках C₁ и C₂, S₄ и S₁ — в точках D₁ и D₂ (рис.). Докажите, что если точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат на одной окружности S (или прямой), то и точки A₂, B₂, C₂, D₂ лежат на одной окружности (или прямой).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 348 349 350 351 352 353 354 >> [Всего задач: 1956]