Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 367 368 369 370 371 372 373 >> [Всего задач: 1956]

Задача 58441 (#30.034)

Тема:

[

Переведем данную прямую на бесконечность

]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Даны четыре точки A, B, C, D. Пусть P, Q, R — точки пересечения прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно; K и L — точки пересечения прямой QR с прямыми AB и CD соответственно. Докажите, что (QRKL) = - 1 (теорема о полном четырехстороннике).

Прислать комментарий Решение

Задача 58442 (#30.034.1)

Тема:

[

Переведем данную прямую на бесконечность

]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Окружность пересекает прямые BC, CA, AB в точках A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂. Пусть l_a — прямая, соединяющая точки пересечения прямых BB₁ и CC₂, BB₂ и CC₁; прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке (или параллельны).

Прислать комментарий Решение

Задача 58443 (#30.035)

Тема:

[

Переведем данную прямую на бесконечность

]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Докажите, что для любого нечетного n $\ge$ 3 на плоскости можно указать 2n различных точек, не лежащих на одной прямой, и разбить их на пары так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки из разных пар, проходила бы еще через одну из этих 2n точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 58444 (#30.036)

Тема:

[

Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность

]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.

Прислать комментарий Решение

Задача 58445 (#30.037)

Тема:

[

Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность

]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 367 368 369 370 371 372 373 >> [Всего задач: 1956]