Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 470]

Задача 73629 (#М94)

Темы:	[	Многогранные углы	]
	[	Средние величины	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Формула Эйлера. Эйлерова характеристика	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Лиманов Л.Г.

Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней – треугольник.
Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53884 (#М95)

Темы:	[	Замечательное свойство трапеции	]
	[	Четырехугольники (построения)	]
	[	Параллелограмм Вариньона	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На доске была начерчена трапеция, в ней была проведена средняя линия EF и опущен перпендикуляр OK из точки O пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стерли. Как восстановить чертеж по сохранившимся отрезкам EF и OK?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73631 (#М96)

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Берколайко С.Т.

Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73632 (#М97)

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Розенталь А.Л.

В трапеции ABCD с основаниями AB = a и CD = b проведён отрезок A₁B₁, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции проведён отрезок A₂B₂, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков AB, A₁B₁, A₂B₂,... какое-то число встретиться дважды? Является ли эта последовательность монотонной (возрастающей или убывающей)? Стремится ли она к какому-нибудь пределу?

Прислать комментарий Решение

Задача 73633 (#М98)

Темы:	[	Доказательство от противного	]
	[	Обратный ход	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

а) Докажите, что в таблице

где каждое число равно сумме трёх стоящих над ним чисел, в каждой строке (начиная с третьей) есть чётное число.
б) В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, кратное 3?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 470]