Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 274 275 276 277 278 279 280 >> [Всего задач: 2003]

Задача 78037

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

p простых чисел a₁, a₂, ..., a_p образуют возрастающую арифметическую прогрессию и a₁ > p.
Доказать, что если p – простое число, то разность прогрессии делится на p.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78051

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа $\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$ ${\frac{1}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$ , $\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$ ${\frac{2}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$ , ..., $\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$ ${\frac{M}{a}}$ $\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$ тоже различны между собой. Найти все такие a.

Прислать комментарий Решение

Задача 78053

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Расположить на прямой систему отрезков длины 1, не имеющих общих концов и общих точек так, чтобы бесконечная арифметическая прогрессия с любой разностью и любым начальным членом имела общую точку с некоторым отрезком системы.

Прислать комментарий Решение

Задача 78058

Темы:	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]
Темы:	[	Задачи с ограничениями	]

Сложность: 4
Классы: 11

Имеется 1955 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78072

Темы:	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Гомотетичные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 11

В треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона квадрата меньше 2r, но больше $\sqrt{2}$ r, где r — радиус окружности, вписанной в треугольник.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 274 275 276 277 278 279 280 >> [Всего задач: 2003]