Страница: << 277 278 279 280 281 282 283 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78144

Темы:   [ Индукция в геометрии ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Отрезок длиной 3ⁿ разбивается на три равные части. Первая и третья из них называются отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части, из которых первая и третья снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока не получатся отрезки длиной 1. Концы всех отмеченных отрезков называются отмеченными точками. Доказать, что для любого целого k(1k3ⁿ) можно найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78148

Темы:   [ Выход в пространство ] [ Задачи на движение ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие две не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. По каждой прямой с постоянной скоростью идёт пешеход. Известно, что первый встречается со вторым, с третьим и с четвёртым, а второй встречается с третьим и с четвёртым. Доказать, что третий пешеход встретится с четвёртым.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78161

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Игральная доска имеет форму ромба с углом 60°. Каждая сторона ромба разделена на девять частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам и малой диагонали ромба, разбивающие доску на треугольные клетки. Если на некоторой клетке поставлена фишка, проведём через эту клетку три прямые, параллельные сторонам и малой диагонали ромба. Клетки, которые они пересекут, будут считаться побитыми фишкой. Каким наименьшим числом фишек можно побить все клетки доски?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78164

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Решить в натуральных числах уравнение   x^2y + (x + 1)^2y = (x + 2)^2y.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78165

Темы:   [ Геометрические неравенства (прочее) ] [ Произвольные многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

В многоугольнике существуют такие точки A и B, что любая соединяющая их ломаная, проходящая внутри или по границе многоугольника, имеет длину больше 1. Доказать, что периметр многоугольника больше 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 277 278 279 280 281 282 283 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями