Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 278 279 280 281 282 283 284 >> [Всего задач: 2003]

Задача 78185

Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
	[	Геометрическая прогрессия	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Дана невозрастающая последовательность чисел ¹/_2k = a₁ ≥ a₂ ≥ ... ≥ a_n ≥ ... > 0, a₁ + a₂ + ... + a_n + ... = 1.
Доказать, что найдутся k чисел, из которых самое маленькое больше половины самого большого.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78195

Тема:

[

Алгебраические неравенства и системы неравенств

]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Даны сто чисел x₁, x₂,..., x₁₀₀, сумма которых равна 1. При этом абсолютные величины разностей x_k+1 – x_k меньше ¹/₅₀ каждая.
Доказать, что из них можно выбрать 50 чисел так, чтобы сумма выбранных отличалась от половины не больше, чем на одну сотую.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78196

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 4
Классы: 10,11

n отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2n-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 78199

Тема:

[

Теория игр (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 10,11

В углах шахматной доски 3 на 3 стоят кони: в верхних углах — белые, в нижних — чёрные. Доказать, что для того, чтобы им поменяться местами, потребуется не менее 16 ходов. (Кони не обязательно ходят сначала белый, потом чёрный. Ходом считается ход одного коня.)

Прислать комментарий Решение

Задача 78202

Темы:	[	Комплексные числа в геометрии	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Даны n комплексных чисел C₁, C₂,..., C_n, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0,

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 278 279 280 281 282 283 284 >> [Всего задач: 2003]