Страница: << 290 291 292 293 294 295 296 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78829

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Подсчет двумя способами ] [ Правило произведения ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Пусть K(x) равно числу таких несократимых дробей ^a/_b, что  a < x  и  b < x  (a и b – натуральные числа). Например,  K(⁵/₂) = 3  (дроби 1, 2, ½).
Вычислить сумму  K(100) + K(¹⁰⁰/₂) + K(¹⁰⁰/₃) + ... + K(¹⁰⁰/₉₉) + K(¹⁰⁰/₁₀₀).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78839

Темы:   [ Ряд Фарея ] [ Обыкновенные дроби ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Индукция (прочее) ] [ Теорема Пика ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть ^a/_b и ^c/_d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |bc – ad| = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78840

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Правило произведения ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На всех клетках шахматной доски 8×8 расставлены натуральные числа. Разрешается выделить любой квадрат размером 3×3 или 4×4 и увеличить все числа в нём на 1. Мы хотим в результате нескольких таких операций добиться, чтобы числа во всех клетках делились на 10. Всегда ли это удастся сделать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79245

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Последовательности (прочее) ] [ Куб ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Средние величины ]

Сложность: 4 Классы: 10

Грани кубика занумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, что сумма номеров на противоположных гранях кубика равна 7. Дана шахматная доска 50×50 клеток, каждая клетка равна грани кубика. Кубик перекатывается из левого нижнего угла доски в правый верхний. При перекатывании он каждый раз переваливается через свое ребро на соседнюю клетку, при этом разрешается двигаться только вправо или вверх (нельзя двигаться влево или вниз). На каждой из клеток на пути кубика имеется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех написанных чисел? Какое наименьшее значение она может принимать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79247

Тема:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Многочлен P(x) с целыми коэффициентами при некоторых целых x принимает значения 1, 2 и 3.
Доказать, что существует не более одного целого x, при котором значение этого многочлена равно 5.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 290 291 292 293 294 295 296 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями