Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 289 290 291 292 293 294 295 >> [Всего задач: 2003]

Задача 78783

Темы:	[	Выигрышные и проигрышные позиции	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Лежит кучка в 10 миллионов спичек. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может взять из кучки спички в количестве pⁿ, где p – простое число, n = 0, 1, 2, 3, ... (например, первый берёт 25 спичек, второй – 8, первый – 1, второй – 5, первый – 49 и т.д.). Выигрывает тот, кто берёт последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78798

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x₁, x₂, ..., x_n, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78800

Темы:	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 4
Классы: 11

Даны два набора чисел: a₁, ..., a_n и b₁, ..., b_n. Расположим числа a_k в возрастающем порядке, а числа b_k – в убывающем порядке. Получатся наборы
A₁ ≤ ... ≤ A_n, B₁ ≥ ... ≥ B_n. Доказать, что max{a₁ + b₁, ..., a_n + b_n} ≥ max{A₁ + B₁, ..., A_n + B_n}.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78825

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Обратный ход	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В стране Мара расположено несколько замков. Из каждого замка ведут три дороги. Из какого-то замка выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка, стоящего на его пути, поворачивает либо направо, либо налево по отношению к дороге, по которой приехал. Рыцарь никогда не сворачивает в ту сторону, в которую он свернул перед этим. Доказать, что когда-нибудь он вернётся в исходный замок.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78828

Темы:	[	Обход графов	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух лет в городе проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в первый год на некоторых дорогах было введено одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах было восстановлено двустороннее движение, а на остальных дорогах введено одностороннее движение. Известно, что в каждый момент ремонта можно было проехать из любой точки города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно ввести одностороннее движение так, что из каждой точки города удастся проехать в любую другую точку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 289 290 291 292 293 294 295 >> [Всего задач: 2003]