Страница: << 292 293 294 295 296 297 298 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79310

Темы:   [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Правильные многоугольники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Арена цирка освещается n различными прожекторами. Каждый прожектор освещает некоторую выпуклую фигуру. Известно, что если выключить один произвольный прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить произвольные два прожектора, то арена полностью освещена не будет. При каких значениях n это возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79319

Темы:   [ Системы точек ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Правильные многоугольники ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Можно ли на плоскости расположить конечное число точек таким образом, чтобы у каждой точки было бы ровно три ближайших к ней точки?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79325

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Деление с остатком ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Доказать, что существует такое натуральное число n, большее 1000, что сумма цифр числа 2ⁿ больше суммы цифр числа 2ⁿ⁺¹.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79330

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Индукция (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 11

В клетках таблицы размером 10×20 расставлено 200 различных чисел. В каждой строчке отмечены три наибольших числа красным цветом, а в каждом столбце отмечены три наибольших числа синим цветом. Доказать, что не менее девяти чисел отмечены в таблице как красным, так и синим цветом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79341

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Средние величины ]

Сложность: 4 Классы: 9

В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
  а) Докажите, что если для каждых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.
  б) Постройте пример такого турнира семи команд.
  в) Докажите, что если для любых трёх команд найдётся такая, которая выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 292 293 294 295 296 297 298 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями