Страница: << 295 296 297 298 299 300 301 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79433

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В вершинах правильного 1983-угольника расставлены числа 1, 2, ..., 1983. Любая его ось симметрии делит числа, не лежащие на ней, на два множества. Назовём расстановку "хорошей" относительно данной оси симметрии, если каждое число одного множества больше симметричного ему числа. Существует ли расстановка, являющаяся "хорошей" относительно любой оси симметрии?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79440

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Доказать, что  4^m − 4ⁿ  делится на 3^k+1 тогда и только тогда, когда  m − n  делится на 3^k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79454

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Является ли чётным число всех 64-значных натуральных чисел, не содержащих в записи нулей и делящихся на 101?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79464

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4 Классы: 11

В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное количество монет достоинством в n₁, n₂, n₃, ... копеек, где
n₁ < n < ₂ < n₃ < ...  – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число N, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в n₁, n₂, ..., n_N копеек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79466

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Свойства сечений ] [ Перегруппировка площадей ] [ Касательные к сферам ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Треугольное сечение куба касается вписанного в куб шара. Докажите, что площадь этого сечения меньше половины площади грани куба.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 295 296 297 298 299 300 301 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями