Страница: << 356 357 358 359 360 361 362 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66088

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Произведения и факториалы ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В Чикаго орудует 36 преступных банд, некоторые из которых враждуют между собой. Каждый гангстер состоит в нескольких бандах, причём каждые два гангстера состоят в разных наборах банд. Известно, что ни один гангстер не состоит в двух бандах, враждующих между собой. Кроме того, оказалось, что каждая банда, в которой не состоит некоторый гангстер, враждует с какой-то бандой, в которой данный гангстер состоит. Какое наибольшее количество гангстеров может быть в Чикаго?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67319

Темы:   [ Равногранный тетраэдр ] [ Центр масс ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

В тетраэдре $ABCD$ скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка $AH_A$, где $H_A$  – точка пересечения высот грани $BCD$, провели прямую $h_A$ перпендикулярно плоскости $BCD$. Аналогичным образом определили точки $H_B$, $H_C$, $H_D$ и построили прямые $h_B$, $h_C$, $h_D$ соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые $h_A$, $h_B$, $h_C$, $h_D$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78109

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 5- Классы: 11

Плоский многоугольник A₁A₂...A_n составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Можно ли его деформировать в треугольник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78177

Тема:   [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках O₁ и O₂. Пусть a₁ и a₂ — внутренние касательные к этим окружностям, a₃ и a₄ — внешние касательные к ним. Пусть, далее, a₅ и a₆ — касательные к окружности с центром в O₁, проведённые из точки O₂, a₇ и a₈ — касательные к окружности с центром в точке O₂, проведённые из точки O₁. Обозначим через O точку пересечения a₁ и a₂. Доказать, что с центром в точке O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась a₃ и a₄, вторая касалась a₅, a₆, a₇, a₈, причём радиус второй в два раза меньше радиуса первой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78498

Темы:   [ Площадь треугольника (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Псевдоскалярное произведение ] [ Формулы для площади треугольника ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Дан произвольный треугольник ABC и точка X вне его. AM, BN, CQ — медианы треугольника ABC. Доказать, что площадь одного из треугольников XAM, XBN, XCQ равна сумме площадей двух других.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 356 357 358 359 360 361 362 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями